ベルンシュタインの定理・証明概略図 - ねくノート
まずは次のような関数を考えてみましょう． \[ F(z)=z\quad (\abs z<1) \] 定義域に注意して下さい．この関数は $ \abs z<1 $ でしか定義されていません．この関数を実数全体に拡張したい場合どうすればよいでしょうか？ この場合は単に定義域を $ \abs z<1 $ から $ z\in\rea $ に書き換えればいいだけで，何も難しいことはないように感じるかもしれません．そうして実数全体に拡張された $ \tilde F(z) $ は \[ \tilde F(z)=z\quad (z\in\rea) \] と書くことができます．この $ \tilde F(z) $ が，一部でしか定義されていなかった $ F(z) $ という関数の「本体」ということになります． 以上の話は，単に定義域を書き換えるというだけの話であり，関数の拡張に関する議論の重要性をあまり感
無限の指数タワーと数学的カブトムシ
テトレーションの列 \[ z,\; z^z,\; z^{\s z^{\s z}},\ldots \] の極限を $ z^{\s z^{\s z^{\s \cdots }}} $ と書くことにします．これが $ \infty $ に発散するような $ z $ はどのようなものであろうかと考えてみました．例えば \[ 2^{\s 2^{\s 2^{\s \cdots}}}=\infty \] は当たり前ですが， \[ \sqrt 2^{\s \sqrt 2^{\s \sqrt 2^{\s \cdots}}}=2 \] となります． $ z $ が正の実数 $ a\in\rea_{>0} $ の場合の $ \infty $ への発散領域は初等解析的な方法によって求めることができます．正の実数 $ a $ に対して \[ 1,\; a,\; a^a,\; a^{\s a^{\s a}},\; a^
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