焼きなまし法でThomson問題の解を探索する - lan496の日記
Thomson問題 Thomson問題とは、三次元単位球の表面にN個の電荷の等しい粒子を配置するとき、クーロンポテンシャル\( U = \sum_{i < j} \frac{1}{|\rm{r}_{i} - \rm{r}_{j}|}\)が最小となる配置となるを求める問題です。詳しくはwikiをThomson problem - Wikipedia, the free encyclopedia。N=5のときにて三方両錐形が解になったり、N=8で立方体が解にならないなどいろいろと面白い問題です。 去年の12月頃、そもそもこの問題設定に名前が付いていることをある方から教えていただき、N=5の場合で実際に初期条件を与えて時間発展させることで本当に三方両錐形になるのか実験してみました。 球面上の点電荷が最も安定する配置(thomson problem)のRK4を利用したシミュレーションの進捗 pic
自作2D物理エンジンを作った話 - Qiita
最近Unityを始めてあまりのできのよさに感動を覚えつつ、物理演算とかがあまりにも手軽に行えるのでさすがに仕組みをまったく知らずに使うのは問題だろうと物理シミュレーションの勉強をしました。 ゴールとしていた、実際に動くものが作れたのでそのまとめです。 ただ、あくまで勉強が目的なので軽量化などはしていません。そのため、結構冗長な書き方をしていて実際に使うにはだいぶ重いです。 [2019.09.10 追記] GitHubへのリンクを掲載していなかったので追記。 リポジトリの内容は以下から確認できます。 PhysJS2D 実際に作ったサンプル 実際の動作サンプル サンプルでは三角形と四角形、そして円との衝突判定を行い、衝突時に応答する部分まで作っています。 ここでは、この実装をしていくにあたって、躓いた点やメモなど自分が学んだことをつらつらと書いていきす。 シミュレーションパイプライン さて、物
剛体シミュレーションをまとめてみる - Qiita
[2014.07.24 追記] ちなみに、上記記事のGJKアルゴリズムの原理で原点との判定を行っていますが、ミンコフスキ差の図形を使って解説しているために若干混乱しますが、実際にプログラムを行う段階ではその図形を表す式はありません。 あくまでサポート写像を用いて、それぞれの点を計算していき、3点見つかったタイミングで三角形を形成し、以後計算を繰り返す、という形になります。 ####分離軸の理論 次に説明するのは、これもまた衝突検知に用いられる理論で、 分離軸の理論 と呼ばれるものです。 分離軸の理論を簡単に言うと、空間に任意の軸をひとつ取り、その軸に対して剛体の各頂点を投影します。 そしてその重なりを調べることで、衝突を検知するものです。（おそらくスイープ＆プルーンも同じような仕組み） そして分離軸の理論では、2つの物体が重なっていない場合「 それぞれの物体の射影が重なっていない軸が空間中
大域的非線形数値最適化 - Wolfram Mathematica 7 Documentation
制約条件付きの非線形最適化に対する数値アルゴリズムは，大まかに分けると勾配法と直接探索法とに分けられる．勾配法では，第1導関数（勾配）か第2導関数（ヘッシアン）が使われる．この例には逐次二次計画(SQP)法，拡大ラグランジュ法，非線形内点法がある．直接探索法では，導関数情報は使われない．この例としては，Nelder-Mead法，遺伝的アルゴリズム，微分進化法，焼きなまし法がある．直接探索法の方が収束が遅い傾向があるが，関数と制約条件のノイズの存在への耐性は強い． 通常，アルゴリズムは問題の局所的なモデルを構築するだけである．また，そのようなアルゴリズムの多くは目的関数の減少，目的関数と制約条件の組み合わせであるメリット関数の減少を要求し，反復プロセスの収束を確実にする．収束した場合，このアルゴリズムは局所的最適値だけを見付けるため，「局所的最適化アルゴリズム」と呼ばれる．Mathemati
Simulated Annealing/SA -概論-
Simulated Annealing/SA -概論- 1.はじめに 一般に最適化問題とは，ある制約条件下において， 与えられた状態空間で定義された関数の最大値または最小値を与える状態空間の要素を求める． シミュレーテッドアニーリング（Simulated Annealing）は，最適化問題を解く汎用近似解法の一つである． この方法は，Fig.1のように高温で加熱した金属を徐々に少しずつ温度を下げて冷やすことによって， 元の金属より欠陥の少ない優れた結晶構造を作る物理プロセス（アニーリング）に着想を得て， これを計算機上で模擬することにより最適化問題を解こうとする手法である． Fig.1 高温時から低温時への徐冷に伴う原子の配列 2.SAの特徴 ＜長所＞ ・ 頑強性・・・多くの最適化解法が局所最適化に補足される欠点を持つのに対し，SAは用意には局所最適解につか まらず，理論上は真の最適解
Simulated Annealing for beginners
Finding an optimal solution for certain optimisation problems can be an incredibly difficult task, often practically impossible. This is because when a problem gets sufficiently large we need to search through an enormous number of possible solutions to find the optimal one. Even with modern computing power there are still often too many possible solutions to consider. In this case because we can’
焼き鈍し法(SA法)メモ - Negative/Positive Thinking
はじめに 探索空間から大域的最適解を求めることができる汎用的なアルゴリズムの「焼き鈍し法」についてちょっと調べてみたのでメモ。 latticelmでも用いられているみたい。 SAアルゴリズム 温度Tによって、動作が変わる メインは「メトロポリスの手続き」で、ある温度Tにおけるアニーリング過程をシミュレートする 低下していく各温度についてMetropolisを実行する 温度が高いほど動きがあり(ランダム)、低いほど動きがなくなる(どん欲法) beta > 1 : ある温度でアニーリングに費やされる時間は温度が低下するにつれ次第に増加 RANDOMは一様乱数(0-1) 新しい解を採択する基準は「メトロポリス基準」と呼ばれる 手続きMetropolisはM個の解を生成してチェックする SAの疑似コード SA部分 Algorithm Simulated_annealing(S0,T0,alpha,
焼きなまし法で遊ぶ - Negative/Positive Thinking
はじめに 焼きなまし法について、どんな挙動で、どこを気をつけないといけないのかよくわかってないので、遊んでみる。 焼きなまし法メモ : http://d.hatena.ne.jp/jetbead/20111014/1318598381 評価関数 簡単のために、4次関数を使って、初期位置は小さい山の外側(x0=2.0)に配置してみる。 【関数の形】 (google) (wolfram alpha) http://www.wolframalpha.com/input/?i=-3x%5E4%2B3x%5E3%2B10x%5E2-10x%2B15 best_x = argmax f(x)を求めたい。 コード #include <iostream> #include <cmath> //xorshift // 注意: longではなくint(32bit)にすべき unsigned long xor1
焼きなまし法 - 大人になってからの再学習
最適化問題を解くための探索アルゴリズムの1つに焼きなまし法というものがある。 最急降下法のように、値が小さくなる方向に少しずつ探索を進めていくアルゴリズムでは、その出発点に依存して局所最適解に陥ることが多い。 その結果として、大域的最適解が求まらないという問題がある。 この問題を解決して、最終的に大域的最適解が求まりやすくなるように改良したのが焼きなまし法。 考え方は単純で、「たまには解から遠ざかる方向にも進んでみよっか」というもの。 常に値が小さくなる方向ではなくて、たまには逆向きに進んでみると、もっとよい解が見つかるのではないか、と考える。 しかしながら、この「たまには」という言葉はあいまいすぎるので、確率pで、という具合に確率の話で説明する必要がある。 焼きなまし法では、この確率pは、値の変化量にも影響を受けるけど（解から大きく遠ざかる方向には、あまり行かないように確率pを小さくする
最適化アルゴリズム - sonoshouのまじめなブログ
集合知プログラミングの第５章最適化の一部を自分なりにまとめます。 ヒルクライム法（傾斜上り法） ヒルクライム法は、ある地点から少し値を変更し、 変更後の値が変更前の値より低ければ採用する。 これを繰り返して行けば、最小値へ近づくことが出来る。 ヒルクライム法には致命的な弱点がある。 例えば、下図のようなグラフを考える。 このように、局所的最小解があるようなグラフでは、 大局的最小解を発見することはできない。 ヒルクライム法は非常に単純な方法で一般的に使われることは無いが、 この後の手法の比較のために説明する。 アルゴリズム＜初期化処理＞ ランダムな値で変数を初期化。カウントを初期化。 ＜反復処理＞ 変更する変数を一つ選ぶ。 変数の値を増加させるか、減少させるかを決定する。 変数の値を変更後、新たな変数でコストを算出する。 変更前と変更後のコストの大小を比較する。 変更後のコストが小さければ
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関西大学システム理工学部 感性情報システム研究室
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SimulatedAnnealing - KLab Public Wiki
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Sweep and prune - Wikipedia
焼きなまし法 | プログラミング!?で遊ぶ