公理的集合論 - Wikipedia
公理的集合論（こうりてきしゅうごうろん、axiomatic set theory）とは、公理化された集合論のことである。 集合の公理系[編集] ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF公理系）[編集] 現在一般的に使われている集合の公理系はZF (ツェルメロ=フレンケル) 公理系、またはZF公理系に下で述べる選択公理（Axiom of Choice）を加えた ZFC公理系（Zermelo-Fraenkel set-theory with the axiom of Choice）である。ZC, ZでそれぞれZFCおよびZFから置換公理を除いたもの、Z-, ZF-, ZC-, ZFC- で各体系から正則性公理を除いたものを表す。キューネンは『The Foundations of Mathematics』で「初等数学のほとんどはZC-での中でなされる」と述べている[1]。 基本的なZFの公理[編集]
選択公理 - Wikipedia
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]。 空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる。あるいは同じことであるが、空でない集合の空でない任意の族 に対して写像 であって任意の に対し なるものが存在する、と写像を用いて言い換えることが出来る（ここで存在が要求される写像 f を選択関数（英語版）という）。これは次の命題と同値である。 {Aλ}λ∈Λ をどれも空集合でないような集合の族とすると
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