順列と組み合わせの数の公式。どちらを使うのが正しいか迷ったときの便利なテクニック | アタリマエ！
いま、「1」「2」「3」「4」「5」の5枚のカードがあるとします。 この5枚のカードについて、2種類の問題を考えてみましょう。 ①：「この中から2枚を使って2ケタの数字を作る場合、作れる数字は何通りあるか？」 ②：「この中から2枚のカードを選ぶ場合、選び方は何通りあるか？」 この2種類の問題では、それぞれ答えが変わってきます。 ①は順列で、答えは 5P2＝5×4＝20通り ②は組み合わせで、答えは 5C2＝5×4÷2＝10通りになります。 今回は、そんな順列と組み合わせの数の考え方についてです。 photo credit:William Warby ①順列異なるｎ個の中から k 個を順番をつけて並べる場合の並べ方は ｎPｋ で表され、順列の公式から求められます。 「！」は階乗(かいじょう）と言って、n から 1 までのすべての整数をかけ算した値のことを n！ と表記します。（ただし、０！＝
【場合の数基礎１】和の法則&積の法則大事な２パターン ｜高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」
センター試験において、場合の数は2012年から４年連続で出題されているくらい重要な分野です。一方、場合の数や確率は苦手な人にとってはとことん苦手な分野でもあります。 「何をすればいいか分からない。」「PとCはどの問題で使うのか混乱する・・」 こんな意見をよく聞きます。 場合の数や確率などは如何に問題を簡潔に考えられるかが重要になります。突き詰めて考えると、場合の数の解法は大きく分けて２パターンしかありません。 「和の法則」と「積の法則」を如何に適切な形で使えるかが勝負の分かれ道といえます。 当ブログでは、今回から数回にわたって場合の数・確率を説明します。場合の数・確率は解き方や考え方にいくつかのパターンがありますので、しっかり勉強すれば誰でも良い点数をとる事が出来ます。 なんとなくで今まで確率を解いていた方、ただひたすら場合の数を数え上げていた方是非、今回のブログを読んでみてください！ 一
相関係数の意味と求め方 - 公式と計算例
相関係数とは、2 種類のデータの関係を示す指標です。値が 1 や －1 に近いほど相関が強く、0 に近いほど相関が弱いといえます。相関係数は無単位なので、単位の影響を受けずにデータの関連性を示します。 相関係数を求めるには、共分散をそれぞれの変数の標準偏差で割ります。具体的には、次の公式で計算することができます。 相関係数を求める公式 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ は次の式で求まる。 \begin{align*} r &= \frac{s_{xy}}{s_xs_y} \\[5pt] &= \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(y
共分散の意味と求め方、共分散公式の使い方
共分散とは、2 種類のデータの関係を示す指標です。共分散を求めるには、2 つの変数の偏差の積の平均を計算します。 共分散は次の公式で求めることができます。 共分散を求める公式 $x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$ は次の式で求まる。 \[ s_{xy} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \] ここで、 $n$ はデータの総数 $x_i$ と $y_i$ は個々のデータの数値 $\overline{x}$ と $\overline{y}$ はそれぞれの変数の平均値 を表します。 この式は、各変数の偏差を計算してから、その積の平均を計算することを表しています。順番に計算すれば、簡単に計算することができます。 このページでは、共分散の意味と求め方を、例題を用いて分かりやすく説明しています。また、共
分散の意味と求め方、分散公式の使い方
分散とは、データの散らばりの度合いを表す値です。分散を求めるには、偏差（それぞれの数値と平均値の差）を二乗し、その平均を計算します。なお、分散の正の平方根が標準偏差です。 分散 $s^2$ は次の式で求めることができます。 分散 $s^2$ を求める式 \[ s^2 = \frac{1}{n}\sum_{n=1}^n(x_i-\overline{x})^2 \] ここで、 $n$ はデータの総数 $x_i$ は個々の数値 $\overline{x}$ は平均値 を表します。 この式と同じように、平均値と偏差を順番に計算することで、分散を簡単に求めることができます。 このページでは、分散の意味と求め方を、例題を用いて分かりやすく説明しています。また、分散を求める別の方法である分散公式の導出と使い方も説明しています。 もくじ 分散とは分散の求め方分散公式 分散とは分散とは、データの散らばりの度
【数A】順列・組み合わせとは？２つの違いと使い分けについて解説！｜高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」
1. 順列と組み合わせの違い 「５人の中から２人並べる。」 「５人の中から２人選ぶ。」 この２つの違いは分かりますか？分かる方は「2.順列の公式を解説！」に進んでしまって構いません。 順列と組み合わせの違いを簡単に説明すると、選んだものの並び順を考えるかどうかです。順列は並び順を考慮しますが、組み合わせは並び順を考慮しません。 この組み合わせと順列の違いについて、以下でさらに詳しく解説します。 1-1. 順列(P)は集合から取り出して並び替える問題 異なるn個の中から異なるr個を取り出して１列に並べる数のことです。 順列の総数は、nPrで表されます。 ５人(A、B、C、D、E)の中から２人を並べる場合を考えましょう。 すると、並べ方はAB、BA、AC、CA、DE、ED…のようになります。全部数え上げれば分かるのですが、合計は20通りになります。ここで、ABとBAを違うものとして考えることが
三角関数は何に使えるのか 〜 サイン・コサイン・タンジェントの活躍 〜 - Qiita
「他にこんなのがある」というのがあったら是非いっぱい教えてください！ 歴史的に最も古くからある用途は「測量」でしょう。三角関数誕生のキッカケはまさに測量の必要性にありました。比較的日常生活でも見る機会がありそうな用途でしょうか。 ログハウス ケーキカット 震災時の家の傾き推定 現代では「波」としての用途が多いでしょうか。Twitter での様々な人のコメントを見ていても、 おっぱい関数 jpeg 画像 音声処理 といった具合に、波に関する話がかなり多いイメージです。これらの三角関数の使われ方を特集してみます。様々な分野に共通する三角関数の使い方のエッセンスを抽出したつもりですが、これでもかなり分量が多くなりました。摘み食いするような感覚で読んでいただけたら幸いです。 2. 三角関数の 3 つの顔 最初に三角関数には大きく 3 つの定義があったことを振り返っておきます。以下の記事にとてもよく
三角関数の３通りの定義とメリットデメリット | 高校数学の美しい物語
0<θ<90∘0 <\theta < 90^{\circ}0<θ<90∘ を満たす θ\thetaθ に対して ∠A=θ,∠B=90∘\angle A=\theta, \angle B=90^{\circ}∠A=θ,∠B=90∘ となる直角三角形を描き， sinθ=BCAC, cosθ=ABAC,tanθ=BCAB\sin\theta=\dfrac{BC}{AC},\:\cos\theta=\dfrac{AB}{AC},\\\tan\theta=\dfrac{BC}{AB}sinθ=ACBC,cosθ=ACAB,tanθ=ABBC と定義する。 メリット 理解しやすい，「図形の計算を簡単にしたい」というモチベーションが分かりやすい。 正弦定理や余弦定理，面積公式などの有用な定理を理解するだけならこの定義で十分。 デメリット 0<θ<90∘0 <\theta < 90^{\cir
三角関数の基礎知識。sinθ cosθ tanθ の覚え方・弧度法・三角比の表まとめ｜アタリマエ！
サイン・コサイン・タンジェント まず、原点 \(O\) を中心とする半径 \(r\) の円と、その円上の点 \(A(x,y)\) を考えます。 「\(x\) 軸の正の部分」と線分 \(OA\) による（反時計回りを正とする）角の大きさ \(∠BOA=θ\) に対して \(\sin{θ} =\dfrac{y}{r}\) \(,\cos{θ}=\dfrac{x}{r}\) \(, \tan{θ} =\dfrac{y}{x}\) で表される3つの三角比の関数のことを、三角関数と言います。 「\(\sin{θ},\cos{θ},\tan{θ}\) の分母・分子をド忘れしそう…」と感じる方も多いかもしれませんが、これらはその頭文字 s,c,t の筆記体のイメージと結びつけると覚えやすくなりますよ。
シャープレシオ(効率係数)
リスクを取って運用した結果、安全資産(リスクがゼロと仮定した資産)から得られる収益(リターン)をどの位上回ったのか、比較できるようにした指標です。 ファンドの運用成績を比較する場合に広く用いられています。単にリターンを比較するのではなく、その裏にあるリスクとの見合いで運用成果を判断しようとするものです。
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標準偏差とは何か？その求め方や公式の意味・使い方をわかりやすく説明します｜アタリマエ！