連休で疲れて、いまいち気力に欠けるんですけど … けど、モナドの話をします。2つのモナドを複合（合成）する、という話題。ある程度モナドに慣れている人向けかもしれない。 (F, μ, η), (F', μ', η') が同じ圏上の2つのモナド（μ, μ'はモナド乗法、η, η'はモナド単位）であるとき、関手としての結合F;F'（反図式順で書くならF'・F）が再びモナドになるかどうか？つまり、F;F'とうまく適合する乗法と単位を定義できるかどうか？ これについては、1960年代にベック（Jon Beck）が詳しく調べていて、事情がハッキリとわかっています*1。 で、実際に“複合モナドを構成可能な2つのモナド”の具体例を出します。この実例に対してベックの法則*2や、複合の方法を紹介します。しかし、複合がうまくいく内的なメカニズムまで説明できそうにありません。グチャグチャした複雑な等式を天下りに出

最近、「おおおー、これは凄い、すんばらしい！」と思ったことがあるので、それについて書きます。 最初に言葉についてのお断り； "categorical"の訳語をどうしようか？ と。片仮名で「カテゴリカル」が無難ですが、漢字で書きたい。「圏論的」が落ち着きがいいようですが、必ずしも「論」の意味を含まないときもあります。そこで、以下、「圏的」を使います。 [追記 date="2013-02-12"]入門的解説を書きました。→「衝撃的なデータベース理論・関手的データモデル 入門」[/追記] スピヴァックと関手的データモデル デイヴィッド・スピヴァック（David I. Spivak, http://math.mit.edu/~dspivak/）は、MITの研究者です。 彼は圏的情報学（categorical informatics）を提唱しています*1。圏的情報学の中心的な概念が関手的データモデル

モナドは、部分関数、非決定性関数、例外（エラー）、コレクション・データ型など、純粋関数計算の不純な(?)拡張を記述するために使えます。なかでも分かりやすいのは、副作用への応用でしょう。ここで言う副作用とは、大域変数への代入、ファイルIO、データベースへのアクセス、画面描画（グラフィックス）、状態を持つ計算などです。 モナドを圏論的に定式化して、その双対を取るとコモナドという概念になります。モナドに比べてコモナドは地味で注目される機会が少ないのですが、コモナドも純粋関数計算を拡張する手段を与えます。 実際には、副作用を表現するモナドと一緒に、たいていはコモナドも出てきているのですが、ちょっと影が薄いんですよね。ここでは、読み取り専用大域変数（イミュータブルな環境）への参照がコモナドになっていることを紹介します。 大域変数の参照 大域変数への代入（書き込み）は、モノイドのスタンピングモナドで記