co-Yoneda lemma in nLab
Idea What is sometimes called the co-Yoneda lemma or density formula is a basic fact about presheaves (a basic fact of topos theory): it says that every presheaf is a colimit of representables and more precisely that it is the “colimit over itself of all the representables contained in it”. One might think of this as related by duality to the Yoneda lemma, hence the name. Every presheaf is a colim
Understanding F-Algebras
Understanding F-Algebras Posted by Bartosz Milewski under Category Theory, Functional Programming, Haskell, Programming [19] Comments What is algebra? Naively speaking algebra gives us the ability to perform calculations with numbers and symbols. Abstract algebra treats symbols as elements of a vector space: they can be multiplied by scalars and added to each other. But what makes algebras stand a
Understanding Yoneda - School of Haskell | FP Complete
You don't need to know anything about category theory to use Haskell as a programming language. But if you want to understand the theory behind Haskell or contribute to its development, some familiarity with category theory is a prerequisite.Category theory is very easy at the beginning. I was able to explain what a category is to my 10-year old son. But the learning curve gets steeper and steeper
ベックの法則と複合モナド - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
連休で疲れて、いまいち気力に欠けるんですけど … けど、モナドの話をします。2つのモナドを複合（合成）する、という話題。ある程度モナドに慣れている人向けかもしれない。 (F, μ, η), (F', μ', η') が同じ圏上の2つのモナド（μ, μ'はモナド乗法、η, η'はモナド単位）であるとき、関手としての結合F;F'（反図式順で書くならF'・F）が再びモナドになるかどうか？つまり、F;F'とうまく適合する乗法と単位を定義できるかどうか？ これについては、1960年代にベック（Jon Beck）が詳しく調べていて、事情がハッキリとわかっています*1。 で、実際に“複合モナドを構成可能な2つのモナド”の具体例を出します。この実例に対してベックの法則*2や、複合の方法を紹介します。しかし、複合がうまくいく内的なメカニズムまで説明できそうにありません。グチャグチャした複雑な等式を天下りに出
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free cocompletion in nLab
What is the correct definition of ideal monads?