球を幾つかのパーツに分解して、再び組み立て直すことによって、同じ大きさの球を２個作ることができる。 これは「バナッハ・タルスキーの定理」と呼ばれている命題です。 あまりにも馬鹿げた内容にパラドックスと呼ばれることも多いのですが、 ちゃんと数学的な証明もあって、（一部の人たちには）正しいと信じられている「定理」なのです。 ２個に増やす組み替えは、３次元の球で初めて可能になることで、２次元の円だとできません。 雰囲気をつかむために、先に円の話を見ておくと良いでしょう。 * 隙間だらけの円 >> d:id:rikunora:20091018 なぜ円だと不可能で、球だと可能になるのか。 その秘密は、元を正せば３次元空間の回転操作にあるのです。 前の記事の円の場合には、円周上の一点を、回転して別の点に移動する操作を考えました。 同じように、今度は３次元の球面上の一点を、回転して別の点に移動する操作を

In an idle moment a while ago I wrote a program to generate "factorization diagrams". Here’s 700: It’s easy to see (I hope), just by looking at the arrangement of dots, that there are in total. Here’s how I did it. First, a few imports: a function to do factorization of integers, and a library to draw pictures (yes, this is the library I wrote myself; I promise to write more about it soon!). > mod

ラムダ計算でEither Either型の値をパターンマッチする状況を考えます。 「データコンストラクタのパターンマッチ」は，下図のようにしてラムダ計算で表現できます。 ラムダ計算でBool 今度は，Bool型の値をパターンマッチする状況を考えます。 TrueやFalseには引数が無いので，(3)や(4)はλで囲みません。 パターンマッチ = 「データコンストラクタを他の関数に置き換えること」 パターンマッチによって，Leftがlに置き換わります。以下同様です。 「データコンストラクタを置き換える」という概念について，もう少し詳しく考えていきます。 データコンストラクタの置き換え方は2種類ある リストのような再帰的なデータ型では，データコンストラクタの置き換え方が2種類あります。 data List a = Cons a (List a) | Nil (1) 全てのデータコンストラクタを置

モナドは、部分関数、非決定性関数、例外（エラー）、コレクション・データ型など、純粋関数計算の不純な(?)拡張を記述するために使えます。なかでも分かりやすいのは、副作用への応用でしょう。ここで言う副作用とは、大域変数への代入、ファイルIO、データベースへのアクセス、画面描画（グラフィックス）、状態を持つ計算などです。 モナドを圏論的に定式化して、その双対を取るとコモナドという概念になります。モナドに比べてコモナドは地味で注目される機会が少ないのですが、コモナドも純粋関数計算を拡張する手段を与えます。 実際には、副作用を表現するモナドと一緒に、たいていはコモナドも出てきているのですが、ちょっと影が薄いんですよね。ここでは、読み取り専用大域変数（イミュータブルな環境）への参照がコモナドになっていることを紹介します。 大域変数の参照 大域変数への代入（書き込み）は、モノイドのスタンピングモナドで記