Polynomial functors and polynomial monads
We study polynomial functors over locally cartesian closed categories. After setting up the basic theory, we show how polynomial functors assemble into a double category, in fact a framed bicategory. We show that the free monad on a polynomial endofunctor is polynomial. The relationship with operads and other related notions is explored.
Profunctor Optics: The Categorical View
Profunctor Optics: The Categorical View Posted by Bartosz Milewski under Category Theory, Lens, Programming [9] Comments Abstract: I present a uniform derivation of profunctor optics: isos, lenses, prisms, and grates based on the Yoneda lemma in the (enriched) profunctor category. In particular, lenses and prisms correspond to Tambara modules with the cartesian and cocartesian tensor product. This
圏論に最短で入門する - 俺の Colimit を越えてゆけ
はじめに 対象読者 数学以前 数学の基礎 ホモロジー代数 圏論 もっと手取り早く圏論の勉強を始めたい人へ おわりに 紹介した書籍 はじめに 私が圏論という分野を知るきっかけは、おそらくこの文章を読んでいるほとんどの人と同様に Haskell の勉強をしたことがきっかけでした。 Haskell のモナドなどを利用する上では圏論を理解する必要は全くないのですが、型システムや処理系に関して詳しく知りたくて論文を読むと圏論の言葉が普通に使われていて、理解できずに断念していました。 そこで、当時数人が集まってやっていた圏論勉強会に参加して圏論の勉強を始めました。当時読んでいた書籍は Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories でした。この本は圏論の初学者向けに書かれた本で、数学的な知識をほとんど仮定せずに理解できるように書かれ
【Scala】foldとfoldLeftの違いを知る | DevelopersIO
はじめに こんばんは！ 突然ですが、 Scala における fold と foldLeft はほとんど同じものだ！と思っていませんか？ また、Scala の Option#fold メソッドを使って、何か不自然に思ったことはありませんか？ 先に結論を述べますと、 fold メソッドと foldLeft メソッドは異なります（もちろん foldRight とも違いますよ！）。 「ちょっとだけ挙動に差が…」的な違いではなく、根本的に違います。 たまたま、 List#fold と List#foldLeft が（例外的に）似たような定義で、かつ（例外的に）似たような挙動をするため、誤った通説（全てのfold≒foldLeft）があったりなかったりするようです。少なくとも僕は、Scala を書くようになってからある一定の期間、全ての fold と foldLeft は同じものだと考えていました。
F-Algebras
This is part 24 of Categories for Programmers. Previously: Comonads. See the Table of Contents. We’ve seen several formulations of a monoid: as a set, as a single-object category, as an object in a monoidal category. How much more juice can we squeeze out of this simple concept? Let’s try. Take this definition of a monoid as a set m with a pair of functions: μ :: m × m -> m η :: 1 -> m Here, 1 is
Catamorphisms in 15 Minutes! | Stack Unwinding
Let’s say you have a list of numbers. What can you do with it? Find its length, map a function over it, add them up, etc. Wouldn’t it be great if there were one function to rule them all, a function that generalizes what you can do with a list? In many languages, there is a higher-order function called fold that encapsulates a pattern of structural recursion over recursive structures: to specify a
随伴関手
随伴関手 alg-d https://alg-d.com/math/kan_extension/ 2025 年 1 月 31 日 目次 1 基本的性質 1 2 図式による定義 14 3 冪等随伴 25 4 Cartesian 閉圏 29 5 随伴の例 36 1 基本的性質 定義. C, D を圏，F : C → D，G: D → C を関手とする．c ∈ C，d ∈ D について自然 な全単射 φcd : HomD(Fc, d) → HomC(c, Gd) が存在するとき，3 つ組 hF, G, φi のこと を随伴 (adjunction) という．このとき記号では F a G: C → D もしくは単に F a G と書く．また F を G の左随伴関手 (left adjoint functor)，G を F の右随伴関手 (right adjoint functor) という． F
衝撃的なデータベース理論・関手的データモデル 入門 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
デイヴィッド・スピヴァックによる衝撃的なデータベース理論である関手的データモデル。どうしたらうまく説明できるか？ と色々と悩んでしまいますが、まー、書けるところから書き始めてしまいましょう。 さー、いらっしゃい、いらっしゃい。関手的データモデルの世界へようこそ。圏論の言葉は出てきますが、圏論の予備知識はほぼゼロでOKですよ。 [追記 date="翌日"]取り急ぎ勢いで書きましたので、不注意と早とちりが混じっていました。追記と取り消し線の形で訂正と注記を足しました。字句レベルの表現の変更は直接編集しています。 あとそれと、圏論の基本用語を知りたいときはコチラ、… って、……、ゴメン！[/追記] 内容： はじめに 本の購入のサンプル スキーマのグラフ表現 キーとか計算カラムとか 圏としてのスキーマ 関手としてのデータベース状態 テーブルの変化 自然変換としてのデータ操作 データベースに圏論が使
Category theory in context
Category theory in context Emily Riehl Chapter 6 is adapted with permission from Chapter 1 of Categorical Homotopy Theory, by Emily Riehl, Cambridge University Press. © Emily Riehl 2014 To Peter Johnstone, whose beautiful Part III lectures provided my first acquaintance with category theory and form the skeleton of this book. and To Martin Hyland, who guided my initial explorations of this subject
Profunctor Polymorphism
Profunctor Polymorphism Posted by Bartosz Milewski under Category Theory, Haskell, Lens, Programming [6] Comments The connection between the Haskell lens library and category theory is a constant source of amazement to me. The most interesting part is that lenses are formulated in terms of higher order functions that are polymorphic in functors (or, more generally, profunctors). Consider, for inst
随伴がモテないのはどう考えてもモナドが悪い！（モナドとコモナドの関係が分かる話） - Moon? Shadow! - Misc Memo
この記事が対象としている読者 コモナドって何となく聞いたことがある人 圏論よく分かんないけど、圏の定義（対象と射と合成と恒等射と……）みたいなことは聞いたことがある人 要するに、モヤモヤしてても問題ないのですけれど、最低限の知識くらいはあった方がいいってことなのですー＞ω＜ また、この記事は深淵なHaskellプログラマのみが書くことを許されると言われるモナドチュートリアルではないのでそういったものを期待されていたら、ごめんなさいなのです＞＜ コモナド（´・ω・`） さて、みなさんはコモナドについてご存知です(・ω・？ google:コモナド Haskellで調べると、 こもなど！コモナド！Comonad！！ - capriccioso String Creating(Object something){ return My.Expression(something); } という id:
From Adjunctions to Monads
From Adjunctions to Monads I thought I would share one of my favorite constructions in Haskell, namely that adjoint functors give rise to monads. Although it’s a trivial result in category theory how it manifests in Haskell is quite lovely. A Functor in Haskell maps objects and morphism (i.e. functions) in a subcategory of Hask to objects and morphisms of another category.
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fpca.dvi
Shinji Kono on Twitter: "圏論やり過ぎで、圏論を抽象的とか思わなくなった。具体的な記号の操作の理論。型付ラムダ計算そのものなんだから当然なんだけど。"
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