積分公式一覧 | 高校数学の美しい物語
この節はすべて基本公式です。確実に覚えておきましょう。 ∫xadx=xa+1a+1+C (a≠−1)\displaystyle\int x^adx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C\:\:(a\neq -1)∫xadx=a+1xa+1+C(a=−1) a=2a=2a=2 のとき ∫x2dx=x33+C\displaystyle\int x^2dx=\dfrac{x^3}{3}+C∫x2dx=3x3+C a=3a=3a=3 のとき ∫x3dx=x44+C\displaystyle\int x^3dx=\dfrac{x^4}{4}+C∫x3dx=4x4+C a=12a=\dfrac{1}{2}a=21 のとき ∫xdx=2xx3+C\displaystyle\int \sqrt{x} dx=\dfrac{2x\sqrt{x}}{3}+C∫xdx=32xx+C ∫1
ルート２が無理数であることの４通りの証明 | 高校数学の美しい物語
2\sqrt{2}2 が有理数であると仮定する。 このとき，互いに素な正の整数 p,qp,qp,q を用いて 2=qp\sqrt{2}=\dfrac{q}{p}2=pq とおける。 両辺二乗して分母を払うと，2p2=q22p^2=q^22p2=q2 左辺は 222 の倍数なので q2q^2q2 は 222 の倍数。よって qqq は 222 の倍数。 すると，q2q^2q2 は 444 の倍数になるので，p2p^2p2 が 222 の倍数。よって ppp も 222 の倍数。 これは ppp と qqq が互いに素であることに矛盾。
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