なんとかモルフィズム - λx. x K S K ＠はてな
PPL2009 に参加してくださった皆さん，本当にありがとうございました． バタバタしていて，あまり多くの方とはお話しできずにすみませんでした． OCaml Users Meeting を日本で開催する際にはぜひ参加したいですね． 参加希望ついでに，ずいぶん前に書いた OCaml のコードを晒しておきます． 今回は (今回も?) あまり役に立たないお話で，なんとかモルフィズムの一覧です． 以前ここで紹介した代数的データ型の続きみたいなもので， catamorphism や anamorphism や hylomorphism 以外のものも実装しています． ここで実装しているのは以下の14個のほげほげモルフィズム (説明はテキトー) です． 全部知っているという人はかなりのマニアです． catamorphism list でいう foldr anamorphism cata の双対 hylo
随伴がモテないのはどう考えてもモナドが悪い！（モナドとコモナドの関係が分かる話） - Moon? Shadow! - Misc Memo
この記事が対象としている読者 コモナドって何となく聞いたことがある人 圏論よく分かんないけど、圏の定義（対象と射と合成と恒等射と……）みたいなことは聞いたことがある人 要するに、モヤモヤしてても問題ないのですけれど、最低限の知識くらいはあった方がいいってことなのですー＞ω＜ また、この記事は深淵なHaskellプログラマのみが書くことを許されると言われるモナドチュートリアルではないのでそういったものを期待されていたら、ごめんなさいなのです＞＜ コモナド（´・ω・`） さて、みなさんはコモナドについてご存知です(・ω・？ google:コモナド Haskellで調べると、 こもなど！コモナド！Comonad！！ - capriccioso String Creating(Object something){ return My.Expression(something); } という id:
Category theory for beginners
This document discusses the cross product and its properties and applications. It begins with announcements about upcoming homework assignments. It then covers defining the cross product vectorially and using components, and properties such as it being non-commutative and non-associative. Applications discussed include using the cross product to find torque, area of parallelograms, and volume of p
圏論 | 壱大整域
このページについて ※特に断らない限り、圏はlocally smallであると仮定しています。 ※上から順に読むことを想定しています。 ※定義が書いてない言葉があったりするので、その場合はnLabを見るなりしてください。 ※選択公理は特に断らず使います。 意見・質問・感想・誤字や数学的間違いの指摘などはTwitterで直接リプやDMするか、マシュマロで送ってください。 ★お知らせ★ このページのPDFが紙の本になりました。↓のリンクから購入することができます。 全ての概念はKan拡張である: 第0章～第2章(Cauchy完備化は除く) 全ての概念はKan拡張であるII～豊穣圏論～: 第3章 2-category、豊穣圏 ■PDFの量が多すぎると思うので第0章～Kan拡張のPDF(kan_extension.pdf)までの内容を短くまとめたPDFを作りました⇒可能な限り最短でKan 拡張に到
limitとcolimit - ラシウラ
圏論続き。 図式(diagram) 圏論では、h = f.g のことを、hとf.gは「可換」といいます。 圏Setでは、{(x,h(x))|∀x} と {(x, f(g(x)))|∀x}が等しいことを指します。 射それぞれf:Y->Z, g:X->Y, h:X->Zとすると、 という「図式」が書けます。図式は以下の性質を記述してます: 頂点が対象 矢印が射 矢印の連結が射の合成 そして矢印の始点と終点をつなぐルートすべてを可換 函手(functor) 圏の射(や対象)を引数にとってその結果の射(や対象)が構成要素になるような圏を作る関数のようなもの。 F: C->D と書くと、圏Cから圏Dを作る函手Fということになる。性質としては F(id:c->c) = id:d->d F(f.g) = F(f).F(g) c,c1,c2,c3∈C, d,d1,d2,d3∈D g: c1->c2, f:
始対象と終対象 - ラシウラ
圏論の学習で、始対象と終対象の理解でつまづかせるのは、書籍等でのその例に挙げられる圏Setでの対象である空集合に対する射の説明がないからだとわかった。 始対象、終対象ともに定義なのでそれ自体は特に難しくないのだが、例が無説明で挙げられるのみなので、そこにひっかかってしまうのです。 定義は以下のとおり 始対象0: 任意の対象Aで、0からAへの射がひとつのみ存在する対象0 終対象1: 任意の対象Aで、Aから1への射がひとつのみ存在する対象1 この最初にあげられる例として「圏Set(小さな集合。集合を要素に含まない集合)では、始対象は空集合、終対象は任意の1点集合(要素が一つだけの集合)」であると書かれてたりします。 Setでの射 圏Setでの射A->Bとは、集合Aの要素を集合Bの要素に変換する関数になります。外延的に表現すると、集合Aの要素と、集合Bの要素bへのペアの集合になるでしょう。また関
単なる自己関手の圏における... (1) 圏とは | tnomuraのブログ
Haskell のIOモナドの分かりにくさに対する批判に対し、フィリップ・ワドラーが、「モナドは単なる自己関手の圏におけるモノイド対象だよ。何か問題でも？」と答えたそうだ。これで、すんなり納得するのはよほど圏論に詳しい人だろう。 管理人としては、圏論抜きで Haskell というプログラム言語を使えればそれが一番ありがたいのだ。しかし、最低でもモナドや圏論やモノイド対象が何を指しているのかくらいは知っておきたい。そこで、『モナドへの近道・Haskell からの寄り道』（中村翔吾著）というレポートを道案内にして、少なくともモナドというのが何を指しているのかを探索してみた。 まず、圏論の「圏」という言葉が何を指しているかだ。端的に言うと圏とは、対象と射からなる構造だ。集合と写像なら少しは馴染みがあるので、集合に例えると、対象とは集合のことで、射とは写像のことだ。集合 a と集合 b があり、そ
The Typeclassopediaを訳しました, The Typeclassopedia - #3(2009-10-20)
■ [Haskell] The Typeclassopediaを訳しました The Monad.ReaderのIssue 13に掲載されたThe Typeclassopediaという記事が、Functor, Monad, Monoid, Applicative, Foldable, Traversable, Arrowといったような型クラスについて良くまとまっていて、そのあたりを知りたい時の取っ掛かりになりそうだったので翻訳してみました。 作者のBrent Yorgeyさんからも許可がいただけたので公開します。翻訳に慣れていないので変な日本語（特に専門用語の日本語訳はかなり怪しい）があったり、そもそも間違っていたりするかもしれませんので、何か見つけたらコメントを頂けると助かります。 ■ [Haskell] The Typeclassopedia by Brent Yorgey <first
IIJ Research Laboratory
ネットワークの計測と解析 インターネットの使われ方やネットワークの挙動を把握する事は、ネットワークを運用し、その技術開発を行う ために欠かせません。しかし、観測で得られるデータ量は膨大ですがノイズが多く、また、観測できるのは極めて限られた部分でしかありません。そこで、膨大なデータから意味のある情報を抽出したり、部分的な観測からより一般的な傾向を推測する事が必要となります。... インターネット基盤技術 速くて、安全で、信頼性が高く、使いやすく、など、インターネットサービスへの要求はますます高まっています。これらの要求に応えるために、インターネットの 基盤技術も日々進歩しています。いまやインターネットはつながるだけのサービスではなく、高度で複雑な機能を備えた社会基盤となりました。IIJ技術研究所は、インターネットの基盤として実現が期待される機能を提供するために、さまざまな技術課題に取り組んで
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圏論勉強会 @ ワークスアプリケーションズ