makayaのブックマーク / 2023年2月3日

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2023年2月3日のブックマーク (5件)

$\int f(x)dg(x)$（リーマン＝スティルチェス積分）について - verum ipsum factum
確率や統計の文献のなかで稀に $$ a = \int f(x) dg(x) $$ のような形（$dg(x)$の部分に注目）の積分が使われていて「？？？」となった方もいるかもしれません。$dg(x)$ではなく$dx$であれば、これは高校で習った積分 $$ a = \int f(x) dx $$ になりお馴染みの形になりますが、$dg(x)$とは見慣れない形です。実はこの積分は、リーマン＝スティルチェス積分（Riemann Stieltjes integral）と呼ばれ、リーマン積分（高校で習った積分の正式名）を拡張したものです*1。この記事では、リーマン＝スティルチェス積分の定義と確率学への応用について簡単に紹介します。なお、数学的な厳密性については無視しています。リーマン＝スティルチェス積分の定義高校で習った積分の定義を少し一般化するとリーマン＝スティルチェス積分の定義になります。
$$\int f(x)dg(x)$（リーマン＝スティルチェス積分）について - verum ipsum factum$
makaya 2023/02/03
確率論
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【徹底解説】正規分布とは | Academaid
\begin{align} f_{X}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{ -\frac{1}{2\sigma^2} (x-\mu)^2 \right\} \\[0.7em] M_{X}(t) &= \exp \left( \mu t + \frac{1}{2}\sigma^2t^2 \right) \\[0.7em] E[X] &= \mu \\[0.7em] V[X] &= \sigma^2 \end{align}
makaya 2023/02/03
確率論

統計学

正規分布
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正規分布の式の導出 | Alumi Official Website
makaya 2023/02/03
確率論

統計学

正規分布
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ガウス分布の導出
偶然誤差の性質から確率論や統計学でよく用いられるガウス分布（正規分布）を導出してみよう。真の値 $X$ をもつある量の測定を行うことを考える。この測定には系統誤差は含まれず、偶然誤差のみが発生するものとしよう。偶然誤差については経験にもとづく次のガウスの公理がある：大きさの等しい正と負の誤差は等しい確率で生じる。小さい誤差は大きい誤差より起こりやすい。ある限界値より大きな誤差は実際上起こらない。さて、具体的にある測定を実施することで得られた測定値を $x$ とすると、そのときの誤差 $\varepsilon$ は \begin{equation} \varepsilon = x - X \label{error} \end{equation} で与えられる。ある大きさの偶然誤差が発生する確率を誤差 $\varepsilon$ の関数とし、その確率密度関数を \(f
makaya 2023/02/03
確率論

統計学

正規分布
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多変量正規分布を理解する
統計学で頻出の正規分布ですが,1変数はわかるのに多変数になると初見は面食らいます. ２変数の場合を例に上げながら多変量正規分布の数式の理解を目指したいと思います. 目次【本記事の内容】多変量正規分布 $n=2$における式展開多変量正規分布まず,１変数の正規分布の定義式を眺めてみます. １変数正規分布$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp \left \{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right \}$$ この式を見れば,平均が$\mu$で,データのばらつき具合を表す分散が$\sigma^2$だと分かります. 指数関数$exp$の前に付いている係数$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}$は全区間$-\infty 〜 \infty$で積分
makaya 2023/02/03
確率論

統計学
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