2.加群 - arXiv探訪
目次 前回は環を導入してイデアルを定義した。環をイデアルで割った余りを考えることが出来て、それを剰余環と言った。剰余環におけるイデアルと、元の環におけるイデアルとの間には、イデアル対応定理と呼ばれる対応が存在した。この対応により環の内部構造を簡約化し、部分的に調べることが可能となる。今回は視点を変え、環の外部構造について調べたい。 加群と準同型 現実社会において、数は単位を伴って現れる。時速40kmの車が2時間走れば80km進む。80という数字は40と2の積で求めることができるが、その数自体が住む世界は違う。例えば80という数字が住む「長さの世界」には、「足し算」と「定数倍」は定義されている。しかし長さ同士の「掛け算」は面積を表すことになるので「長さの世界」に「掛け算」は定義できない。「長さの世界」は整数によって表現されるが、その表現を通すことで積の値は意味を持たなくなる。このような環の構
フェルマーの小定理の一般化について - arXiv探訪
フェルマーの小定理 Fermatの名を冠す定理は数あれど、数論を学び始めて最初に出会うのは小定理だと思う。素数及び、の倍数でない整数に対して が成り立つ、という主張は一見簡単そうに見えて奥が深く、様々な分野に応用を持つ重要な結果である。（Fermat自身の証明が残っているわけではないそうだが。）基本的な定理なので証明も多く、様々なものが考案されている。例えば法で考えて、でなければはの異なる元を与えるので、素数の性質よりを得る。あるいは二項係数を使ってを直接計算しても良い。 さて、J.Petersenが1872年に用いたcoloringと呼ばれる方法が今回紹介する論文（）の発端となっている。ひとまずを正の整数としよう。個の箱を用意し、それらが円周上に並んでいるとする。これらを色で塗り分けたい。直ぐわかることだが、色塗りの総数は通りである。このうち全ての箱が同色となるのは通りしかない。それ以外
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