フーリエ変換からフーリエ級数と離散時間フーリエ変換と離散フーリエ変換を導出したい
目的Fourier 変換から出発し、複素型の Fourier 級数および離散時間 Fourier 変換を導出し、さらにそれらから離散 Fourier 変換を導出する方法を知る。なるべく step-by-step に記述するが、怪しい式操作は気にしない。 原理下の図のように、それぞれの変換について対象となる関数の周期化や離散化を施すと別の変換を得られる。 \begin{CD} \text{Fourier 変換} @>{\text{時間領域周期化}}>{\text{周波数領域離散化}}> \text{Fourier 級数} \\ @V{\text{時間・離散}}V{\text{周波数・周期}}V @V{\text{周波数・周期}}V{\text{時間・離散}}V \\ \text{離散時間 Fourier 変換} @>{\text{周波数・離散}}>{\text{時間・周期}}> \text{
ZFCの公理一覧と誤解しやすいポイント
はじめに比較的軽度の誤解をしてる人向けです。 この記事ではZFCの公理一覧と誤解しやすいポイントについてまとめています。 $P$を論理式とする. $P(x)$は「$P$の中に現れる変数$x$に注目する」の意味で, $P$と$P(x)$は同じ文字列. $\forall x\in a\ P(x)$は$\forall x(x\in a\Rightarrow P(x))$の略記. $\exists x\in a\ P(x)$は$\exists x(x\in a\wedge P(x))$の略記. $\exists! x\ P(x)$は$\exists x(P(x)\wedge\forall y(P(y)\Rightarrow x = y))$の略記. $\exists! x\in a\ P(x)$は$\exists! x(x\in a\wedge P(x))$の略記. $x\not\in y$は$\
ロドリゲスの回転公式
3次元の回転変換をベクトルで記述する、ロドリゲスの回転公式を紹介します。なお、この内容は先日開催された 第3回すうがく徒のつどい の「四元数と回転」で話した内容の一部です。その際の 講演資料 には画像がありませんでしたが、今回は画像を作成しました。 以下、3次元ベクトル空間$\mathbb{R}^3$で考えます。ベクトル$\vec{x}$と$\vec{y}$の内積を$\langle\vec{x}|\vec{y}\rangle$と、外積を$\vec{x}\times\vec{y}$と書くことにします。 3次元空間のなかで、原点を通る回転軸の周りに回転角$\theta$だけ回転するという変換は、次のように記述できます。 大きさ$1$のベクトル$\vec{n}$があるとします。点$X$を$\vec{n}$の周りに角$\theta$だけ回転した点を$X'$とします。$X$の位置ベクトルを$\vec
四元数による回転の記述
$$\newcommand{ii}[0]{\mathrm{i}} \newcommand{jj}[0]{\mathrm{j}} \newcommand{kk}[0]{\mathrm{k}} $$ 3次元の回転変換を四元数で記述する方法を紹介します。なお、この内容は先日開催された 第3回すうがく徒のつどい の「四元数と回転」で話した内容の一部です。その際の 講演資料 では計算を省略しましたが、今回は計算も書きます。 四元数の定義 $x_0+x_1\ii+x_2\jj+x_3\kk$（$x_i\in\mathbb{R}$）とあらわされる数を、四元数と呼びます。ここで、$\ii$、$\jj$、$\kk$は実数とは異なる数であり、次の関係式を満たすものです。四元数の虚数単位と呼ばれます。 \begin{gather} \ii^2=\jj^2=\kk^2=-1\\ \ii\jj=-\jj\ii=\k
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