学生から受けた質問をメモ。 質問:「定義はわかったのだけど、何故それを定義する必要があるのかわからない」 回答:「今、議論している枠組みの中にその概念は存在しないから」 数学では世界を一から作る 高校までの数学や常識として「同等である」という概念は、既に学んでいる、あるいは、当たり前のこととして私たちは受け止めている。ところが、大学で集合論やら、線形代数論やらを学ぶたびに、毎回「AとBが同等であるとは、〜ということである」とその分野における同等という概念を定義する。なんで、そんなことをしないといけないのか? 中二病的に言うと、数学では世界を一から作るため。その世界には、定義として定めたことがら、公理として導入した事柄、定義と公理、そして既知の定理より証明された事柄以外は、存在していない。 たとえるならば、「むかしむかし、あるところに山があり、おじいさんとおばあさんがいました。」と世界を定義