正７角形のある性質正７角形のある性質 学校教育や大学入試で正７角形が扱われることは、ほとんどないが、その図形の中に秘 められた性質にはとても美しいものがあることを最近知った。 左図は半径 １０３ の円に内接する正７角形である。 左図の線分の長さを計測すれば、 ａ ＝ ９０ 、 ｂ ＝ １６２ 、 ｃ ＝ ２０３ であった。このとき、 １/ａ ＝ ０．０１１１１１ １/ｂ ＝ ０．００６１７３ １/ｃ ＝ ０．００４９２６ であることから、 １/ａ＝１/ｂ＋１/ｃ の成り立つことが予想される。 この予想は正しく、次のように証明される。ただし、円 Ｏ の半径を １ とする。 ∠ＢＡＣ＝θ（＝π/７）とおくと、∠ＡＯＢ＝２θ、∠ＡＯＣ＝４θ、∠ＡＯＤ＝６θ である。 このとき、ａ＝２ｓｉｎθ、ｂ＝２ｓｉｎ２θ、ｃ＝２ｓｉｎ３θ である。 よって、 ａｂ－ｂｃ＋ｃａ＝４ｓｉｎ２θｓｉｎθ－４ｓｉｎ３θｓｉｎ２
