イデアルで外積代数を入れる１ [物理のかぎしっぽ]
この記事の内容は， イデアルによる類別 の続きになっています．いきなりこのページに来た人は， テンソル の内容，特に テンソル代数 について，それと 代数学 の基礎をそれなりに理解していることが望ましいです．色々，先に勉強しなきゃいけないことがあってごめんなさいm(_ _)m．微分形式の計算だけとりあえず知りたい人は，外積代数をまるまる飛ばして先に行ってしまっても大丈夫です． テンソル代数から出発 テンソル同士の演算に，テンソル積と呼ばれるものがありました．テンソルには階数という数がありましたが， 階のテンソルと言えば， 階のテンソル（つまりベクトル）が定義されるベクトル空間 の， 個の直積空間 （これもベクトル空間です）の元のことでした． さて， 階のテンソルと 階のテンソルのテンソル積は 階のテンソルになります．このように，テンソルとテンソルからテンソル積を考えると，幾らでもテンソルの
微分形式の引き戻し２ [物理のかぎしっぽ]
私達は 引き戻し という概念を勉強しました． 微分形式の引き戻し１ で勉強した内容は，特に微分形式とは関係なく，変数や関数の座標変換の話だけでした．この記事では，引き戻しという概念を微分形式に適用してみることを考えます． 一次微分形式の引き戻し まずは，『二次元の世界 』から，『三次元の世界 』への写像 を考えます．引き戻しの定義と，参考図は，次図のようになります．（詳しくは 微分形式の引き戻し１ を参照して下さい．）
微分形式の張る空間と座標変換 [物理のかぎしっぽ]
ここで とすると， と の間には 内で次のような結合を考えることが出来ます． （ は関数） 一番目の線形結合は， と が同じ次数の微分形式でなければ意味がありません．（次数の異なる微分形式に，和は定義できません．）また，これらの演算とは別に には外微分と呼ばれる写像 が定義されていました．外微分には，次のような性質がありました．詳しくは， 外微分 ， ポアンカレの補題 ， 外微分の座標不変性 を復習してください．
内積と双対空間 [物理のかぎしっぽ]
ベクトルの内積を，ベクトル空間や双対空間といった代数的な視点からもう一度考えてみます．ベクトル の内積は一般にスカラーになりますから，スカラー を使って次のように表わせるとします．
部分積分 [物理のかぎしっぽ]
積分公式を一番よく覚えているのは大学入試直前ではないでしょうか． 大学生以上になると授業での演習量が減るのでどんどん忘れて行きます． 授業の最後にたまに演習問題があることがあるんですが， 部分積分がさっぱり分からなくなっていて問題が解けなかったので復習しました．
物理のかぎしっぽ
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テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]
ここまでにもテンソルという言葉はちょくちょく出てきましたが，いよいよテンソルの勉強を始めます．添字を使ったベクトルの扱いに慣れていれば，テンソルの計算そのものはそれほど難しくありません． 復習のため，まずスカラーから話を始めます．スカラーとは座標系によらない量ですから，例えば がスカラーだとすると，どの座標系から見ても は です． には添字も何も付きません．添字の数は です．ふむふむφ（．．） 次にベクトルを思い出しましょう．ベクトルはある座標系の上で のように書けました． と略して， と書くことができますので，添字の数は です．ベクトルの成分は，座標系に応じて変化します． 最後に， 計量テンソル の記事に出てきた計量テンソル を考えてみます．計量テンソルは次式のようにベクトルをベクトルに変換するものとして定義されていましたが，名前の通りテンソルです．添字の数は見ての通り です． 添字の数
七次元の外積 [物理のかぎしっぽ]
ところが，外積の方は今まで三次元でしか計算していません．外積を，他の次元に拡張することは出来ないのでしょうか？そもそも，外積という演算自体が，なんとなくごちゃごちゃしていて，内積ほどはすっきりとは了解し難いものがあります．この記事は，そんな点に気持ちの悪さを感じている人に向けて書きました．結論から言えば，ほとんどの人にとって三次元以外の外積を計算する必要はありませんから，難しいことが嫌いな人は読まなくても大丈夫です．少し高度な内容を含みますが，やる気のある人だけ続きを読んでみて下さい． 四元数を用いた外積の定義 外積という計算を導入する方法として， 四元数 を用いるものがあります．リンク先に少し詳しく書いてありますが，四元数とは，一般に の形をした数です． は普通の実数ですが，その前についた は次の演算規則を満たす，虚数のような（ちょっと違う）数です． こりゃ，いったい何なんだ？と思っては
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