三角関数の積分⑦：∫√(1±cosx)dx、∫√(1±sinx)dx
∫√(1+cosx)dx、∫√(1-cosx)dx、∫√(1+sinx)dx、∫√(1-sinx)dx 次の積分を計算せよ.半角の公式\ sin² x2={1-cos x}{2},cos² x2={1+cos x}{2}\ の逆を適用する. すると,\ {根号をはずすことができて1次式置換型に帰着する.}\ これが正攻法である. このとき,\ X²}= X}\ であり,\ {X²}=X\ ではないことに注意する. よって,\ 根号をはずした後,\ さらに絶対値もはずさなければならない. 絶対値の基本通り,\ {絶対値の中身が正ならばそのまま,\ 負ならマイナスをつけてはずす.} ただし,\ 積分では同時に{積分区間を分割する}必要があることに注意する. 本問では,\ 0 xπ\ のとき\ 0 x2{π}{2}\ よりcos x20\ であるから,\ 絶対値はそのままはずせる. とする{誤り
曲線の長さを計算する積分公式（弧長積分） | 高校数学の美しい物語
f(x)=ex+e−x2f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}f(x)=2ex+e−x で表される曲線の 0≤x≤10\leq x\leq 10≤x≤1 の部分の長さ LLL を求めよ。 f′(x)=ex−e−x2f'(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}f′(x)=2ex−e−x より，曲線の長さを求める公式を使うと， L=∫011+f′(x)2dx=∫011+e2x−2+e−2x4dx=∫01e2x+2+e−2x4dx=∫01(ex+e−x2)2dx=∫01ex+e−x2dx=12[ex−e−x]01=12(e−1e)\begin{aligned} L&=\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}dx\\ &=\int_0^1\sqrt{1+\dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}}dx\\ &=\int_0^1\sqrt{\dfrac
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