動名詞か不定詞かどちらを目的語にとる覚えるのは大変ですよね。ネットにいくつか語呂合わせがあったので紹介します。 【動名詞のみを目的語にとる動詞】 ①最も有名なのは「Megafeps(メガフェプス)」でしょう。 Mind（嫌がる） Enjoy（楽しむ） Give up（諦める） Avoid（避ける） Finish（終える） Escape（避ける） Put off（延期する） Stop（やめる） ②やや不自然ですが「SMAP ゲリ FC(フットボールクラブ) ですぜ」という覚え方もあります。 Stand Mind / Miss Acoid / Admit / Appreciate / Advise Put off/ Postpone / Practice / Permit Give up Enjoy / Excuse / Escape Resist Include/ Imagine Finis

任意の正方行列 AAA に対して，ある正則行列 PPP が存在して，P−1AP=JP^{-1}AP=JP−1AP=J （JJJ はジョルダンブロックを対角に並べた行列）になるようにできる。 ジョルダンブロック（ジョルダン細胞）とは，対角成分に同じ値 λ\lambdaλ を並べ，一つ上の部分には 111 を並べた行列のことです。対角成分 λ\lambdaλ と行列のサイズ kkk を用いて J(λ,k)J(\lambda,k)J(λ,k) と書くことにします。 例えば，A=(11130−3−436)A=\begin{pmatrix}1&1&1\\3&0&-3\\-4&3&6\end{pmatrix}A=⎝⎛​13−4​103​1−36​⎠⎞​ について，P=(12003−1101)P=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&-1\\1&0&1\end{pmatrix}P=⎝⎛​1

放物線をその軸に関して回転させたときにできる図形を回転放物面と言う。 xyzxyzxyz 座標空間において，放物線 z=ax2+bz=ax^2+bz=ax2+b を zzz 軸のまわりに回転させたときにできる図形の方程式は z=a(x2+y2)+bz=a(x^2+y^2)+bz=a(x2+y2)+b である。

∫1sin⁡xdx=12log⁡(1−cos⁡x1+cos⁡x)+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin x}dx=\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C∫sinx1​dx=21​log(1+cosx1−cosx​)+C ∫1cos⁡xdx=12log⁡(1+sin⁡x1−sin⁡x)+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos x}dx=\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C∫cosx1​dx=21​log(1−sinx1+sinx​)+C サイン分の1の積分 被積分関数の分母と分子に sin⁡x\sin xsinx をかけて，部分分数分解します。 1sin⁡x=sin⁡xsin⁡2x=

f(x)=ex+e−x2f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}f(x)=2ex+e−x​ で表される曲線の 0≤x≤10\leq x\leq 10≤x≤1 の部分の長さ LLL を求めよ。 f′(x)=ex−e−x2f'(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}f′(x)=2ex−e−x​ より，曲線の長さを求める公式を使うと， L=∫011+f′(x)2dx=∫011+e2x−2+e−2x4dx=∫01e2x+2+e−2x4dx=∫01(ex+e−x2)2dx=∫01ex+e−x2dx=12[ex−e−x]01=12(e−1e)\begin{aligned} L&=\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}dx\\ &=\int_0^1\sqrt{1+\dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}}dx\\ &=\int_0^1\sqrt{\dfrac

三次元空間内の四点 A,B,C,DA,B,C,DA,B,C,D が同一平面上にある ⟺  \iff⟺ 三点 A,B,CA,B,CA,B,C が同一直線上にある，または ADundefined=pABundefined+qACundefined\overrightarrow{AD}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}AD=pAB+qAC を満たす実数 p,qp,qp,q が存在する。

3点 A(1,1,2),B(0,−2,1),C(3,−1,0)A(1,1,2),B(0,-2,1),C(3,-1,0)A(1,1,2),B(0,−2,1),C(3,−1,0) を通る平面の方程式を計算せよ。 レベルは高いですが3つの中で最も計算が単純な方法です。 平面内のベクトルは全てある定ベクトルと垂直になります。そのような定ベクトルを法線ベクトルと言います。法線ベクトルの1つをnundefined=(p,q,r)\overrightarrow{n}=(p,q,r)n=(p,q,r) とします。平面上の任意の一点を A(x0,y0,z0)A(x_0,y_0,z_0)A(x0​,y0​,z0​) とすると， 点 P(x,y,z)P(x,y,z)P(x,y,z) が求める平面上にある ⟺  \iff⟺ APundefined\overrightarrow{AP}AP と法線ベクトル nund

sin⁡x (−π2≤x≤π2)\sin x\:\left(-\dfrac{\pi}{2}\leq x\leq\dfrac{\pi}{2}\right)sinx(−2π​≤x≤2π​) の逆関数を Arcsin x\mathrm{Arcsin}\:xArcsinx または sin⁡−1x\sin^{-1}xsin−1x と書くことがあります。 逆関数なので「xxx と yyy が交換」されます。例えば，sin⁡π4=22\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}sin4π​=22​​ なので，Arcsin22=π4\mathrm{Arcsin}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4}Arcsin22​​=4π​ です。 Arcsin x\mathrm{Arcsin}\:xArcsinx とは，sin⁡y=x\sin y=xsin

2つの正の数 a,ba,ba,b に対して，a+b2\dfrac{a+b}{2}2a+b​ のことを相加平均と言います。「普通の平均」です。 一方，ab\sqrt{ab}ab​ のことを相乗平均と言います。

各頂点の平均として表される。 ベクトルでは，gundefined=aundefined+bundefined+cundefined3\overrightarrow{g}=\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}g​=3a+b+c​ 座標平面では，(xG,yG)=(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)(x_G,y_G)=\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)(xG​,yG​)=(3xA​+xB​+xC​​,3yA​+yB​+yC​​) 注：記号について この記事では三角形 ABC について aaa：辺BCの長さ bbb：辺CAの長さ ccc：辺ABの長さ aundefined\overrightarrow{a}a：点A

ベクトル aundefined\overrightarrow{a}a と bundefined\overrightarrow{b}b に対して，∣aundefined∣∣bundefined∣cos⁡θ|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta∣a∣∣b∣cosθ を内積と言う。ただし，θ\thetaθ は aundefined\overrightarrow{a}a と bundefined\overrightarrow{b}b がなす角。

図において面積に以下の不等式が成立する： 三角形 OAB<扇形 OAB<三角形 OBC \text{三角形} \ \mathrm{OAB} < \text{扇形} \ \mathrm{OAB} < \text{三角形} \ \mathrm{OBC} 三角形 OAB<扇形 OAB<三角形 OBC すなわち， 12sin⁡x<12x<12tan⁡x \dfrac{1}{2}\sin x < \dfrac{1}{2}x < \dfrac{1}{2}\tan x 21​sinx<21​x<21​tanx となる。両辺 を sin⁡x\sin xsinx で割って逆数をとる： cos⁡x<sin⁡xx<1 \cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1 cosx<xsinx​<1 ここで，x→+0x \to +0x→+0 とすると，cos⁡x→1\cos x\to 1cosx→1 なの