2次形式の標準形、符号、シルベスターの慣性法則とは | 趣味の大学数学
どうも、木村（@kimu3_slime）です。 今回は2次形式に標準形、符号、シルベスターの慣性法則とは何か、具体例を交えて紹介します。 \(f(x_1,x_2)=ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2\)のように、2次の項のみからなる多変数の多項式を2次形式と言いました。 2次形式は、対称行列\(A\)を使って一般に \[ \begin{aligned}f(x) =x^\top Ax= \langle x ,Ax\rangle\end{aligned} \] と表されます。この2次形式のできるだけ簡単な形を提示するのが、シルベスターの慣性法則です。 \(A\)は対称行列なので、必ず対角化できます。またすべての固有値は実数となります。 シルベスターの慣性法則では、固有値が正か負か0であるかに注目します。\(A\)の正の固有値を\(p\)個\(\lambda_1,\dots,\lamb
シルヴェスターの慣性法則 - Wikipedia
線型代数学におけるシルヴェスターの慣性法則（シルヴェスターのかんせいほうそく、英: Sylvester's law of inertia）は実二次形式の係数行列の基底変換で不変なある種の性質を記述する。 具体的に二次形式を定義する対称行列 A と D = SAS⊤ が対角行列となる正則行列 S に対して、D の主対角線に並ぶ正の成分の数および負の成分の数は S に依らず同じである。 名称は、(Sylvester 1852) においてこの性質を証明したジェームス・ジョセフ・シルベスターに因む[1]。 n次正方行列 A は実成分を持つ対称行列とする。同じサイズの正則行列 S は A を別の n次対称行列 B = SAS⊤ へ変換するものとする。ここに S⊤ は S の転置行列である。即ち、行列 A と B は合同とする。A が Rn の適当な二次形式の係数行列ならば B は同じ二次形式に S
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