日曜数学 Advent Calendar 2020 の1日目の記事です。 「類体論」という名前を聞いたことがあるでしょうか？ 類体論は、高木貞治という日本の数学者が提唱した理論です。実は今年2020年は類体論が提唱されてからちょうど 100周年 だそうです。 『類体論における主要な定理の一つ「高木の存在定理」が発表されたのが1920年の国際数学者会議なのだそうです。 』 と書いていたのですが、同1920年には類体論に関してまとめた論文を、東京大学の理学部紀要にて発表しているそうです。（せきゅーんさんよりご指摘いただきました。） 後者の論文から100周年というのがより適切かもしれません。 整数論に興味がある方は、名前を聞いたことあるかもしれません。一方で、その主張について知っている人はあまり多くないのではと思います。かくいう私も、これまで類体論について勉強を続けてきましたが、いつまでたっても
類体論の年表 - Wikipedia
類体論（るいたいろん、英: class field theory）とは、局所体や大域体のアーベル拡大を研究する数学の一分野である。 年表[編集] 1801年 カール・フリードリヒ・ガウスが平方剰余の相互法則を証明。 1829年 ニールス・アーベルがレムニスケート関数の特殊値を用いて のアーベル拡大を構成。 1837年 ペーター・グスタフ・ディリクレの算術級数定理。 1853年 レオポルト・クロネッカーがクロネッカー・ウェーバーの定理を発表。 1880年 クロネッカーが虚2次体のアーベル拡大に関するクロネッカーの青春の夢をリヒャルト・デーデキントに書き送る。 1886年 ハインリヒ・マルティン・ヴェーバー（英語版）がクロネッカー・ウェーバーの定理を証明（軽微な不備あり）。 1896年 ダフィット・ヒルベルトがクロネッカー・ウェーバーの定理をはじめて完全に証明。 1897年 ヴェーバーが射類群
使うための類体論 ～類体の定義，そして理論の肝，また展望を少し～ - Period-Mathematics
はじめに 類体論の種類について 類体の定義 類体論の肝の主張 類体論とは何か？に対する答え 類体論の証明についてのコメント 類体論の一般化 はじめに （本記事で扱う類体論は代数体に対するイデアルによる大域類体論である．） $\def\A{\mathbb{A}} \def\B{\mathbb{B}} \def\C{\mathbb{C}} \def\F{\mathbb{F}} \def\G{\mathbb{G}} \def\H{\mathbb{H}} \def\K{\mathbb{K}} \def\M{\mathbb{M}} \def\N{\mathbb{N}} \def\O{\mathcal{O}} \def\P{\mathbb{P}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\R{\mathbb{R}} \def\T{\mathbb{T}} \def\Z{\mathbb{Z}} \d
今回は局所類体論の存在定理と呼ばれる局所体上のAbel拡大の分類定理の使い方と、その強さを -進数版のKronecker-Weberの定理 -進数版のKronecker-Weberの定理 を素数とする。任意の 上有限次Abel拡大は、ある自然数 が存在して に含まれる。ここで とは の原始 乗根である。 を証明することで見ていく。 目次: 局所体の定義と性質 局所類体論の存在定理 最後に 参考文献 局所体の定義と性質 この節では以下の内容について話す。 局所体の定義。 局所体 は その整数環の素元 と単数群 により という構造をしている。 局所類体論の存在定理は の指数有限開部分群と 上のAbel拡大が対応するのでここでは の代数構造と位相的な情報が重要になるのである。 上で書いた内容を知っていれば、あるいは認めれば局所類体論の存在定理とKronecker-Weberの定理の証明の流れは追
Zeta Advent Calendar 2020 の14日目の記事です。 先日、類体論の入門記事を公開しましたが、多くの方に読んでいただいて嬉しいです。 tsujimotter.hatenablog.com 類体論の記事を書いたことによって頭の中が整理されて、類体論の本が読めるようになってきました。これがとても嬉しく思っています。 そんな経緯で類体論の 基本不等式 を理解できたのですが、今回はこれについて紹介したいと思います。 実はこの基本不等式は類体論の理論の中で証明される非常に重要な定理なのですが、これが 解析的に証明される のです。その証明には ゼータ関数 を使います。この事実が面白いので今回紹介したいと思いました。 前回の記事は入門記事でしたが、今回はだいぶ専門的な内容になります。難しい内容になるかと思いますが、よろしければ最後までお付き合いください。 基本不等式について 上の記
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