積分法の数値計算をプログラミングしてみよう
連載目次 前回は、微分法の数値計算を行いました。今回は、積分の数値計算法を見ていきます。まず、高校で学んだ台形公式を使った積分の数値計算を行い、次により精度のよいシンプソンの公式を使った数値計算を行います。また、乱数を使ってデータのサンプリングを行うモンテカルロ法も紹介します。Pythonの文法やライブラリに関してはNumPyのlinspace関数の利用と、乱数の利用を取り上げます。 今回の練習問題としては、正規分布の－2σ～2σ までの累積確率を求めるプログラム、曲線の長さを求めるプログラム、マルコフ連鎖モンテカルロ法（メトロポリス法）による正規分布のサンプリングを行うプログラムを取り上げます。 上に記した各種の方法は、中学・高校の数学で全て理解できるものです。聞き慣れない用語が幾つか登場しているかもしれませんが、実際のところ面積や割合を求めるために総和の計算をしているだけです。気軽に読
マンハッタン距離（Taxicab distance）／ユークリッド距離（Euclidean distance）、L1／L2ノルムとは？
マンハッタン距離（Taxicab distance）／ユークリッド距離（Euclidean distance）、L1／L2ノルムとは？：AI・機械学習の用語辞典 用語「マンハッタン距離」「ユークリッド距離」について説明。いずれも2点間の距離を計測する方法のこと。マンハッタン距離とは、碁盤の目状の道を縦に横にとタクシーが進むようにn次元の距離（＝差）の絶対値を合計することで距離を計算する方法。ユークリッド距離とは、n次元の距離（＝差）の二乗値を合計した値の平方根を求める（＝ピタゴラスの定理を適用する）ことで直線的な最短距離を計算する方法を意味する。 連載目次 用語解説 数学／統計学／機械学習におけるマンハッタン距離（Taxicab geometry：タクシー幾何学、Taxicab metric、Manhattan distance）とは、2点間の距離を計測する際に、n次元の次元ごとに距離（＝
数理・データ科学のための微積分の基礎が学べる無料講座、京大の講師が担当「我慢も必要だと思って頑張ってほしい」 | Ledge.ai
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[数学・numpy] 高速フーリエ変換(FFT)による畳み込み | maspyのHP
概要 「Python で競技プログラミングをやる」の文脈で、高速フーリエ変換を使うための基礎知識を整理します。 高速フーリエ変換自体は競技プログラミング以外の文脈でも重要なアルゴリズムですが、そうした需要に応えることは、本記事では想定していません。 高速フーリエ変換の詳しいアルゴリズムにはこの記事では触れません（既存の解説が多数ありますし）。代わりにフーリエ変換についての基礎知識について、少し整理しました。ここは、使用言語に関係しない部分です。 最低限、Python での実装だけ見たい人は大部分を飛ばしてよいと思います。 フーリエ変換の性質 フーリエ変換の定義 詳しくは、本記事では扱いません。 $K$ を $1$ の $n$ 乗根を $n$ 個持つ体とします（競プロの文脈だと、$K=\C$ および $K=\F_p$ が重要です）。 $K$ に値を持つ数列 $A = (a_0,a_1,\ld
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p進Newton法で平方数判定 - Qiita
浮動小数点数演算を使わずに高速に平方数を判定します。 (実装例はRustですがC++でも書けると思います) use std::num::Wrapping; pub fn is_square(x: u64) -> bool { let xtz = x.trailing_zeros(); if x == 0 { return true; } else if xtz & 1 != 0 { return false; } let x = Wrapping(x >> xtz); let mut y = Wrapping(1_u64); for _ in 0..5 { y = ((Wrapping(3_u64) - y * y * x) * y) >> 1; } let mut xrt = x * y; if xrt.0 & (1 << 32) != 0 { xrt = -xrt; } let xrt
浮動小数点数の足し算と掛け算は可換か - Qiita
読むのが面倒な人向けの結論：可換です。 「可換です」以外の答えを知りたい人はこの記事を最後まで読んでください。 結合法則と交換法則 実数の足し算や掛け算については結合法則 $x+(y+z)=(x+y)+z$ が成り立ちます。これに対し、浮動小数点数の足し算・掛け算が結合的でないことはとても有名な話です。 例えば、倍精度で (1 + 0x1p-200) + (-1) を計算すると、結合法則が成り立てば答えは 0x1p-200 となるはずですが、実際には 0 が返ってきます。 浮動小数点演算が結合的でないことは有名な話なので、ここではこれ以上詳しくは取りあげません。 一方で、交換法則（可換性）はどうでしょうか？「浮動小数点演算はこういう法則を満たさない！クソ！」みたいな話題で槍玉に上がるのはほとんどの場合結合法則で、交換法則に言及するものはあまり見かけない気がします。 交換法則が成り立つとどう
劣微分・劣勾配と共役関数の可視化 - Qiita
最適化や凸解析の本のわりと序盤に登場するトピックに 劣微分・劣勾配 と 共役関数 があります。いずれも凸関数にとって特に重要な概念ですが、通常の書籍だと当然動きのない図でしか描かれていないため、イメージしづらい方もいるでしょう。そこで代表的な凸関数について、劣微分・劣勾配および共役関数のアニメーションを作りました（初めて本格的にGoogle Colabを使いました）。本の図よりはもっと鮮やかにイメージでき理解が深まるかと思います。なお、厳密には「閉真凸関数」などと呼ぶべき箇所を簡単のために単に「凸関数」と記述しています。厳密な定義などは専門書（例えば [福島2001,冨岡2015]）を参照ください。 多変数関数 $f$ のある一点 $x$ での傾き（昇る方向）を表すベクトルを 勾配 と呼び $\nabla f(x)$ と表しますが、微分不可能な点では勾配を求めることができません。この問題を
「集合と位相」をなぜ学ぶのか ―数学の基礎として根づくまでの歴史 | Gihyo Digital Publishing … 技術評論社の電子書籍
概要 抽象的でわかりづらいと評判のよくない因果な科目「集合と位相」。そもそもいったいなぜこんなことを学ぶの？ 本書を読めば「集合と位相」に刻まれた数学者たちの創意工夫，そして数学の発展の過程がみるみる見えてきます。 こんな方におすすめ 「集合と位相」の授業でつらい思いをしている学生の方現代数学に興味がある一般の方 目次 第1章 フーリエ級数と「任意の関数」 1.1 フーリエの時代 1.2 熱伝導方程式とフーリエ級数 1.3 フーリエ級数の実例 1.4 フーリエの理論の問題点 第2章 積分の再定義 2.1 式としての関数: 18世紀まで 2.2 ディリクレの定理 2.3 リーマン積分 2.4 積分可能性をめぐる混乱 第3章 実数直線と点集合 3.1 点集合 3.2 実数の連続性の3つの表現 3.3 実数は可算でない 第4章 平面と直線は同じ大きさ？ 4.1 集合の用語と記号 4.2 集合とそ
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=4の自然数解(a,b,c)を求める - Qiita
はじめに ちょっと前に、こんな問題が話題になった。 ネタ元はどこか知らないが、僕は以下のサイトで知った。 適当に和訳してみた。 元の出題は果物とか使ってて「数学パズルです〜」みたいな顔をしているが、これは典型的ディオファントス方程式で、途中で楕円曲線が出てくるガチな問題になっている。解説は先のサイトに書いてあるが、いくつか天下りな箇所があるので、そこをちょっと丁寧に解説しつつ、Rubyで解を探してみる。 方針 問題は以下の通り。 上記を満たす「自然数」の組(a,b,c)を求める。すぐに分かる通り、もしひとつの解の組(a,b,c)が求まったら、それぞれ定数倍した(ta, tb, tc)も解となる。従って、大事なのは(a,b,c)の比であり、例えば$c=1$に固定して、(a,b)の有理数解を求める、という問題と等価である。従って、この問題の自由度(実質的な変数の数)は2となる。 さっきの式の分
2つのボールをぶつけると円周率がわかる - 大人になってからの再学習
一か月ほど前に New York Times で紹介されていた記事。 The Pi Machine - NYTimes.com ここで紹介されているのは、なんと驚くべきことに、2つのボールをぶつけるだけで円周率（3.1415...）の値がわかる、という内容。 これだけだと、全然ピンとこないと思うので、もう少し詳しく説明すると、次のようなことが書かれている。 ↓2つのボールを、下の図ように壁と床のある空間に置く。 ↓その後、壁から遠い方のボールを、他方に向かって転がす。 後は、ボールが衝突する回数をカウントするだけで、円周率がわかるらしい。 これでも、なんだかよくわからない。 まず2つのボールが同じ質量である場合を考えてみよう。 まず、手前のボールが他方のボールにぶつかる（これが1回め）。 続いて、ぶつかったボールが移動して壁にぶつかる（これが2回め）。 壁にぶつかったボールが跳ね返ってきて
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楕円曲線と暗号
線形代数というものの見方 / View from Linear Algebra