大学１年生で学ぶ数学「解析学・微積分」の要点まとめ，勉強法の解説。 入門用に全体像・概要をわかりやすく紹介 - 主に言語とシステム開発に関して
講義ノートの目次へ 大学一年生で学ぶ数学のうち，「解析学の基礎（微積分）」について 勉強法やポイントを，図表を交えつつ分かりやすく解説。 つまずきがちな微積分の全体像をつかめる。 解析学は，「微小量の厳密な理論」だ。 これを学ぶ理由・価値は何なのか？ また，どのように全体像を把握して学習を進めたらよいのか。 下記は，新入生が「解析学の概要」を理解する助けになるだろう。 （要約） 解析学とは，一言でいうと「微小量の理論」であり，微積分や極限のこと （特徴） 無限小のレベルでの「精密さ・厳密さ」を追求する学問 （価値・意義） 微小量を制する者は，巨大な量をも制する。厳密な理論を展開できるから （要点のつながり） 大学１年生の「解析学」のポイントを追いかけるストーリー （ステップ１）「多重積分」のためには，１変数での積分や微分が必要。 （ステップ２）１変数の微分のためには，「関数列」や「点列」の
ロピタルの定理と三角関数の微分
が成り立つ。 ただし、 f' は f の x に関する微分を表すものとする。 この定理、教科書に載っていないので、高校の試験や大学入試では「使うな」と言われたりします。 実は使ってもいい 「教科書に載っていないものは公式として使うな」というのは、 「その式を誰でも知っているものだと思って解くなという意味では当然のことではあります （検算に使うのはかまわないんですが）。 でも、絶対に使っちゃいけないわけではないんですよ。 自分で最初に証明してから使えば OK（誰でもは知らないとしても、その説明からやればいい）。 それなら誰も文句はいいません。 あるいは、ロピタルの定理の証明と同じ手順を踏むことで、極限の計算手順を簡単に出来ます（定理の証明手順を知っていれば、それと同じ手順で個別の問題を証明できるはずです）。 例えば、
微分ってなあに？（表紙）
高校で微分を勉強したものの、「なんだかわからないけどただ計算方法だけ覚えた」という困ったレベルに留まっている人は（残念ながら）多いようです。 まずは「微分って何なのか」を図形で理解して欲しいと思います。そこで動く図形で、微分の雰囲気を知って欲しいと思います。 そのための教材の一つとして、授業などで使うべく作成しました。 その１から順に読んで、動かしていってください。 このプログラムを動かすのに必要なファイル全ては、LHAで圧縮したファイルにまとめてあります。 androidの方は、このapkファイルをダウンロードしてくれてもいいです。 プログラムについて御質問、御要望、バグ報告などございましたら、前野［いろもの物理学者］昌弘へメールくださるか、または、twitterにてirobutsuまでメンションしてください。
三角関数の積分法(integration of trigonometric functions)
前節ですべての有理関数は積分できることを学びました．そこで，三角関数の積分も三角関数を有理関数に直すことができればよいわけです．実は三角関数を有理関数に必ず直す方法があります．その最も一般的な方法として， とおく置換があります． より， ．次に， より， ここで， に注意すると また， これより， となり，すべての三角関数の積分は必ず有理関数の積分に直せます．しかし，この置換はあくまで最後に用いるもので，もっと簡単に有理関数に変えれる場合はそちらを用います．次のような場合があります． R(u) が u の有理関数のとき は とおくと， よって となり， t の有理関数に変換できます． 解 この積分は を と書き換えると， の有理関数と の積となります．そこで， とおくことにより となり， t の有理関数に帰着することができます．よって 解 の有理関数は とおくと， より よって は t
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