リーマンゼータ関数の解析接続と関数等式 - INTEGERSこの記事では integers.hatenablog.com においてで定義されたRiemannゼータ関数を複素平面全体に有理型接続し、の満たす美しい関数等式の証明をRiemannの方法に従って紹介します。そのためにテータ関数の準備から始めましょう。 integers.hatenablog.com を「階乗の記事」と表現することにします。 テータ関数の関数等式 定義 に対して定義されるテータ関数をと定義する。 よりは収束することが分かります。Riemannの手法におけるKeyとなる「テータ関数の関数等式」の証明をする前にPoisson和公式を準備します。 . 定義 のFourier変換をにより定める。 なので、は収束することが分かります。 定理 (Poisson和公式) がSchwartz関数であれば、等式が成り立つ。 証明. は周期であることからFourier級数展開 ―① を持つ。この
