ユークリッドの互除法
home 数学メモ 或る整数aを割り切る（割った余りが0になる）整数bを、aの約数という。逆にaはbの倍数と呼ばれる。 例えば12は12、6、4、3、2、1で割り切れるから、これらは12の約数となる。 9は、9、3、1を約数に持つ。二つの整数の共通の約数を公約数という。12と9の場合は3、1が公約数となる。公約数の中で一番大きいものを最大公約数という。 最大公約数が1の二つの数は「互いに素な関係にある」という（双方が素数とは限らない。例えば9と4は其々合成数（素数ではない）が、最大公約数は1で互いに素）。 最大公約数を求める方法として、ユークリッドの互除法がある。これは、以下の手順で行われる。 104と39の最大公約数を求める場合を例にしているが、小さい方で大きい方を割り、余り（26）を求める。 次に、さっき割るのに使った数を、さっきの余りで割る。これを余りが0になるまで繰返し、最後に割る
おもしろ数学講座
かんたんユークリッドの互除法 さて、ユークリッドとは実在する人物の名前ですが、ユークリッドの生涯については、詳しいことはほとんど分かっていません。紀元前３３０年に生まれて紀元前２７５年に死んだという説や、紀元前３６５年に生まれたという説などまちまちです。いずれにしても紀元前約３００年頃の人であろうということくらいは分かっています。彼は当時のエジプトの王であったプトレマイオスの招きに応じてアレクサンドリアに行き、そこで教授、著作、研究に専念したそうです。彼はそこで当時までに知られていたあらゆる数学のデータ収集をし、再検討を加えて整理しました。これが現在の数学でも絶大なる力を持っている『原論』という大著となりました。当時も数学の教科書として使用されていたようで、これに纏わる有名なエピソードがあります。 『原論』を教科書としてユークリッドから幾何学を学んでいたプトレマイオス王が、『幾何学をもっと
【標準】ユークリッドの互除法の原理 | なかけんの数学ノート
自然数 $a,b$ に対し、 a を b で割ったときの商を q 、余りを $r \ (\ne 0)$ とする。 このとき、「a と b の最大公約数」は、「 b と r の最大公約数」に等しい。 $a,b$ の最大公約数を G 、 $b,r$ の最大公約数を g とおく。 条件より、 $a=bq+r$ が成り立つ。右辺は g で割り切れるので、 a も g で割り切れる。よって、$a,b$ は g で割り切れる。この2つの公約数の最大のものが G なので、\[ G\geqq g \ \cdots (1) \]が成り立つ $a=bq+r$ から、 $a-bq=r$ も成り立つ。左辺は G で割り切れるので、 r も G で割り切れる。よって、 $b,r$ は G で割り切れる。この2つの公約数の最大のものが g なので、\[ g\geqq G \ \cdots (2) \]が成り立つ (1
【数の構成】ユークリッドの互除法 | 大人が学び直す数学
合同式とともに、「余り付き割り算」と縁の深い計算テクニックに、ユークリッドの互除法（Euclidean algorithm） があります。 ある2つの数の最大公約数（GCD）を考えるとき、2つの数はその最大公約数で割り切れるという関係において合同ですから、合同式の定義から、両数の差（あるいは何度も引けるのであれば一方を一方で割った余り）の中にもそのGCDは含まれています。ユークリッドの互除法は、割り算の余りのこの性質を使って、2つの数の最大公約数を手早く求める手法で、ユークリッドは幾何の原論と同じ、あのユークリッドです。 最大公約数を求めるとき、通常であれば2つの数を眺め、偶数かどうかからはじまって、倍数の判定法も活用しつつ、共通で割れそうな数を当てずっぽうで探しながら細切れに刻んでいく、というやり方をします。ですが、たとえば以下のようなケースでは、一見した限りではうまく最初の切り口がつか
ユークリッド互除法を図で考える
アーカイブ：「数の性質」 ユークリッド互除法はこちらで解説している方法で式にあてはめてさえいけば機械的に求めることができます．しかし，計算の意味を理解せずに利用するのはあまり好ましいことではありません． このページではユークリッド互除法の計算の意味を図を描きながら考えてみることにします． ここでは前の例と同じ「２２１と３２３」で考えてみましょう． これを式で求めると， ①323 ÷ 221 ＝ 1・・・102 ②221 ÷ 102 ＝ 2・・・17 ③102 ÷ 17 ＝ 6 答え：17 となりました． この計算を次のような長方形を使いながら考えてみます． 221と323の最大公約数を求めるというのは，「この長方形を最も大きな正方形でぴったり埋めようとしたとき，その正方形の一辺はいくらになるか」という問題に置き換えられます． ①の計算は，まずこの長方形の中に「最も大きな正方形をつくってみる
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