以前紹介したShanksの恒等式 integers.hatenablog.com はWilliam G. Spohn, Jr. によって次のように拡張できることが指摘されています: のとき、 のときがShanksの恒等式になっています。他には、例えばより が得られますし、より が得られます。 、と言えばピンとくるものがありますよね。 私がフリーハンドで描いた次の芸術的な図をご覧ください(GeoGebraで描き直しました)： を中心とする円を考える. は円の直径. はの中点. はをに内分する点. はと垂直. . とはと平行. . で、を延長してできる直線は円のにおける接線. . はと平行*1. このとき、Ramanujan曰く、「は円の面積に非常に近い」(1914年)。 としてみましょう。勾股弦の定理を使っていけば計算できます*2。まず、を求めると. よって、. これより、 . よって、、.