この記事では超越数論の古典的大定理であるBakerの定理の証明をBakerの本*1に書いてある通りに紹介します*2。 Bakerの定理 (1966) をでない代数的数とする。このとき、が上一次独立であれば、は上一次独立である。 ここで、個あるについて任意の枝で成立し、それぞれの枝の選択が一致している必要はありません。Bakerの定理から超越数を山のように得ることが出来ますが、それについては integers.hatenablog.com をご覧ください。 証明は背理法によります。主張が成り立たないと仮定すると、Siegelの補題によって魔法のような関数を作ることが出来てしまい、その魔法関数によって矛盾が生じてしまうという感じの証明です。 設定と準備 背理法の仮定: Bakerの定理の主張を背理法で証明する。すなわち、をでない代数的数とし、が上一次独立であるときに、少なくとも一つはではない代

超越数論の古典的な結果のうち、比較的大きな定理を鑑賞しましょう。ここでは証明は紹介しません。 Lindemann-Weierstrassの定理 Lindemann-Weierstrassの定理 (1885) を正整数とし、を上一次独立な代数的数とする。このとき、は上代数的独立である。 これは、Lindemannが彼の仕事のもとで予想したものであり、Weierstrassが1885年に証明を詳述したためにこのように呼ばれています。 LWの定理の言い換え１ をでない代数的数とし、を相異なる代数的数とする。このとき、である。 を「少なくとも一つがではない代数的数」としても主張としては同じです。 同値であることの証明.*1 Lindemann-Weierstrassの定理 言い換え１: 上ベクトル空間 の基底をとする。このとき、 と書け、は相異なるという仮定から各ベクトルは相異なる。背理法で証明す

以前紹介したShanksの恒等式 integers.hatenablog.com はWilliam G. Spohn, Jr. によって次のように拡張できることが指摘されています: のとき、 のときがShanksの恒等式になっています。他には、例えばより が得られますし、より が得られます。 、と言えばピンとくるものがありますよね。 私がフリーハンドで描いた次の芸術的な図をご覧ください(GeoGebraで描き直しました)： を中心とする円を考える. は円の直径. はの中点. はをに内分する点. はと垂直. . とはと平行. . で、を延長してできる直線は円のにおける接線. . はと平行*1. このとき、Ramanujan曰く、「は円の面積に非常に近い」(1914年)。 としてみましょう。勾股弦の定理を使っていけば計算できます*2。まず、を求めると. よって、. これより、 . よって、、.

は素数ですが、昨夜面白い性質があることに気づきました。 の場合 にをかけます。 この数に一番近い整数は素数です。 このような性質をもつ以下の素数(に一番近い整数が素数となるような素数)は です 。このような幸運な年は私が生まれてからだと年が初めてであることが分かります。次は年ですね。 の場合 にをかけます。 この数に一番近い整数は素数です。 このような性質をもつ以下の素数(に一番近い整数が素数となるような素数)は です。なんとの場合と同じく個あります！！このような幸運な年は私が生まれてからだと年が初めてであることが分かります。この前は年でApéryとBeukersの論文が出た年*1ですね。次は年です。 Khinchin定数の場合 Khinchin定数という有名な数をご存知でしょうか？これはKhinchinが示した次の驚くべき定理に付随して定まる定数です： Khinchin (1934) 測

今朝、起きたらこんなメールがgmail宛に届きました。 そう、昨日がブログ『インテジャーズ』の執筆を開始してちょうど一年だったのです。 去年の10月末か11月初めに突発的にブログを書こうと思い立ち、はてなブログをとりあえず開設し、ブログの技術の習得や書く記事の準備を始めました。 本当は数ヶ月の準備期間を経てから書くつもりだったのですが、急遽11月20日に最初の記事を書いたのには理由があります。 それは、ζWalkerさんの次のツイートを見たから： 【急募】あさって20151121＝67⁴は約2000年ぶりの素数冪記念日なのだが、具体的に何をしてお祝いをしたらいいか。【拡散希望】— ζWalker (@walker0226) 2015年11月18日 何だって！！？？ 2015年11月21日は何て素晴らしい記念日なんだ！！ インテジャーズの理念を考えると、これを記事にしない事は許されない！！！

ですから、を自然数の分割数としましょう。すなわち、を例えば非増加の順に自然数の和として分割するときの分割*1の総数がでした。 より、が分かります。便宜的に、負の整数に対してとしておきましょう。の母関数は で与えられたことを思い出しておきます。Ramanujanは分割数の定義からは予想できそうにもない、の美しいarithmetic propertyを見出しました。 定理 (Ramanujan) 任意の整数に対して合同式が成立する。 など確かに成立していることを数値例で確かめることができます。映画はまだ見ていないので内容は知らないのですが、この定理の証明ぐらいは紹介するのではないか？と期待しています*2。 Ramanujanは It appears that there are no equally simple properties for any moduli involving prim

今日は3月14日。そう、円周率の日です*1。 というわけで、今日は整数ではなく、円周率のお話をしましょう。 ラマヌジャン(Ramanujan)のMysteriousな公式 百年に一度の円周率の日から一年 証明の解説 が無理数であることの証明 ラマヌジャン(Ramanujan)のMysteriousな公式 円周率に関する級数表示が多数知られており、 integers.hatenablog.com でLeibnizの公式、Machinの公式、高野喜久雄の公式などを紹介しました。 今日は、2015年にイギリスで公開された映画"The Man Who Knew Infinity"でも取り上げられた"インドの魔術師"Ramanujanの発見した円周率の不思議な公式を紹介します。 Ramanujanについては"タクシー数"のエピソードが有名で integers.hatenablog.com で取り上げ

Diophantusは次のような興味深い３つ組を発見しました： ３つ組 すなわち、どの２つの数を取っても、その積にを加えれば平方数となる３つ組なのです。このような自然数の３つ組をDiophantusの３つ組と言います。 この記事だけの記号として、ではなくと書いたら、と仮定されているものとします(４つ以上でも同様)。 疑問：Diophantusの３つ組は無数に存在するか？ 答はYes！ なんと、Diophantus自身が証明しています： 定理 を自然数とすると、はDiophantusの３つ組である。特に、Diophantusの３つ組は無数に存在する。 証明. 計算です： Q.E.D. 一般にDiophantusのタプルが考えられます： 定義 自然数のタプルがDiophantusのタプルであるとは、が成り立つときにいう。 疑問：Diophantusの４つ組は存在するか？ 答はYes！これはFe

この記事は非公開化されました。 integers.hatenablog.com 非公開前の内容要約: 関-Bernoulli数の定義、数値データ、冪乗和の公式、von-Staudt--Clausenの定理、Adamsの定理、Euler-Ramanujanの漸化式について。 この記事の内容は部分的に書籍『せいすうたん１』の第５話および第９話に収録されています。 integers.hatenablog.com

この記事は非公開化されました。 integers.hatenablog.com 非公開前の内容要約: が成り立つが、このような素数がとしか存在しないことの証明。 この記事の内容は部分的に書籍『せいすうたん１』の第１２話に収録されています。 integers.hatenablog.com