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ブックマーク / hooktail.sub.jp (7)

  • ガロア理論と代数方程式 [物理のかぎしっぽ]

    ここまでに，色々な定理や概念を考えて来ましたので，随分長い道のりでしたが，いよいよこれが最後の定理です．この後は，二次方程式，三次方程式などを例に取り，実際に定理を使って方程式の可解性を考えますので，定理の証明に疲れている人も，もう少し頑張って下さい． ガロア理論が難しい感じがするのは，方程式の可解性の話題に到達するまでに，非常に多くの定理や補題が必要であり，特に多くの教科書では，最短のコースを取らずに，枝葉の定理も取り上げているため，『定理と証明』というページが長すぎて，初学者が迷子になってくじけやすいことあると思います．しかも，似たような定理が多く，厳密に意味が分かっていないと，細かな部分で混乱しがちです．（一応，この記事の最後に，おさらいとして定理の関係をまとめておきます．）もちろん，それ自体で興味深い定理もありますし，ガロア理論よりもさらに上を目指す人にとっては，ここは単なる通過点

    ガロア理論と代数方程式 [物理のかぎしっぽ]

  • 空間曲線と接線の方程式 [物理のかぎしっぽ]

    三次元ユークリッド空間内に，一つの曲線 が与えられており，一つの端点を ，もう一端を とします． に沿って から に至る曲線の位置ベクトルは，あるパラメーター を使って式 のように表わすことが出来るでしょう． 曲線は一本道ですから，どんなに曲がりくねっていようと曲線上に拘束された点の運動は前へ進むか後ろへ下がるかの二択で，これは一次元的な運動です．これを一つのパラメーターで表現できることが当然と思える人はそれで良いです．しかし，次のような疑問を持つ人もいるかも知れません．『もしも，この曲線が無限の長さを持ち，完全に平面をくまなく埋め尽くしたら，もしくは，くまなく空間を埋め尽くしたら， というパラメーターだけで平面や空間の一点を指定できることになってしまう．線分 よりも，平面や空間はずっと"大きい"ような気がするが，はたしてそんな一対一対応は成り立つのだろうか？』こういうことが気になる人は

    空間曲線と接線の方程式 [物理のかぎしっぽ]

  • 楕円積分 〜 振り子の周期を求める [物理のかぎしっぽ]

    最初に楕円の周の長さを求めてみます．すると楕円積分というものが出てくるので，楕円積分について少し勉強します．最後に，楕円積分のもう一つの例として，有限振幅の単振子の周期を求める計算をします．これが本稿の目標です．途中で テイラー展開 の知識が必要になります．楕円積分とは何なのかを全く知らない人は「はじめに」を読んで下さい． はじめに 物理の計算をしていて，楕円積分というものに出くわしたことはないでしょうか？例えば，有限振幅の振り子の周期を求める計算や，コマの運動を考えるときに楕円積分という計算が出てきます．普通の教科書では，楕円積分が出てきた時点で「これは楕円積分と言われる計算で初等的には解けない．」と書いてあって，そこで計算が終わっているものがたくさんあります．私はそういうとき，難しくてもいいから最後まで計算が見たい，と思ったものです．きっと他にも最後まで計算の続きが見たい人もいると思い

  • 曲率と曲率半径 [物理のかぎしっぽ]

    曲線が曲がっているとき，その局所的な曲がり具合を円に近似することができます．その円の半径を 曲率半径 ， 曲率半径の逆数を 曲率 と言います．すでに フレネ＝セレの式 で，曲率は として登場していますが，この記事ではまず，曲率を高校数学の範囲でも分かるように古典的に導いてみたいと思います． 読者の多くの方が，微積分の勉強で，曲線の微小部分を接線で近似する，という見方に触れたことがあると思います．曲線を直線で近似とはずいぶん乱暴な話ですが，これは一番簡単な近似で，一次近似とも言うべきものです． もう少し曲がり具合を表現しようと頑張ってみたのが，曲がり具合を円弧で近似する二次近似です．それでも，一般の複雑な曲線の曲がり具合を表現するには簡単すぎますが，直線よりかは大分ましでしょう．曲率を，曲線の曲がり具合の二次近似だと考えると少し見通しが良くなると思います．最初のセクションではベクトルを使いま

  • 組成列と単純群 [物理のかぎしっぽ]

    群 の正規部分群 を考えます． は部分群なのですから，一般に と の間には次の包含関係がなりたつことは明らかでしょう． 群 に複数の正規部分群が存在する場合には，それらの間にも包含関係が成り立つはずです．全ての正規部分群を大きな方から並べて番号を振れば，次のような包含関係が成り立つことが言えるでしょう． 最初が等号になっているのは， の最大の正規部分群 が 自身だからです．それ以下の正規部分群同士の関係には等号が入らないことにも気をつけて下さい． さて，このように正規部分群の包含関係を伸ばしていくと， が有限群ならば，いつか 以外で最小の正規部分群，すなわち単純群に到達して終わりになるはずです．(正規部分群は，高々 個しか無いからです．) これは，どのような有限群でも究極的には単純群にバラせるという，非常にショッキングな主張です．もし，世の中に有限種類の単純群しか無いとすれば，全ての有限群

  • 物理のかぎしっぽ

    [2024-02-04] Contribution/新型コロナウイルスの時系列解析(5)第５波の詳細モデル(nino著) [2023-12-17] Contribution/新型コロナウイルスの時系列解析(4)第５波の統計モデル(nino著) [2023-11-06] Contribution/新型コロナウイルスの時系列解析(3)移動平均等を用いた感染状況の把握方法について(nino著) [2023-08-31] スポンサーご紹介/株式会社Quemix様のご紹介 [2023-08-31] 流体力学（加筆）/流体力学における最小作用の原理（提案）(鈴木康夫著) [2023-06-28] Contribution/新型コロナウイルスの時系列解析(2)第５波の特徴(nino著) [2022-03-20] 生徒募集/大学物理の家庭教師、生徒さんを募集します(クロメル) [2022-03-13] C

  • 物理のかぎしっぽ

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