となります。 この $C_i$ を、$0\leq i\leq 2N$ を満たすすべての $i$ について求めるのが今回の目標です。 それぞれ愚直に求めると、$f,g$ の全項を組み合わせて参照することになるので、 $O(N^2)$ です。これをどうにかして高速化します。 多項式補間 愚直な乗算は難しそうなので、$C_i$ の値を、多項式補間を用いて算出することを考えます。 多項式補間とは、多項式の変数に実際にいくつかの値を代入し、多項式を計算した値から、多項式の係数を決定する手法です。 たとえば、$f(x)=ax+b$ という $1$ 次関数があるとします。 $a$ と $b$ の値は分かりませんが、$f(3)=5,f(7)=-3$ がわかっているものとします。 実際に $3,7$ を代入してみると、 $3a+b=5$ $7a+b=-3$ と、連立方程式が立ち、$a,b$ の値が求められま
![FFT(高速フーリエ変換)を完全に理解する話 - Qiita](https://cdn-ak-scissors.b.st-hatena.com/image/square/f89d85bf878412c8c8d1d486ef1f093f2a313a84/height=288;version=1;width=512/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fcdn.qiita.com%252Fassets%252Fpublic%252Farticle-ogp-background-412672c5f0600ab9a64263b751f1bc81.png%3Fixlib%3Drb-4.0.0%26w%3D1200%26mark64%3DaHR0cHM6Ly9xaWl0YS11c2VyLWNvbnRlbnRzLmltZ2l4Lm5ldC9-dGV4dD9peGxpYj1yYi00LjAuMCZ3PTk3MiZoPTM3OCZ0eHQ9RkZUJUVGJUJDJTg4JUU5JUFCJTk4JUU5JTgwJTlGJUUzJTgzJTk1JUUzJTgzJUJDJUUzJTgzJUFBJUUzJTgyJUE4JUU1JUE0JTg5JUU2JThGJTlCJUVGJUJDJTg5JUUzJTgyJTkyJUU1JUFFJThDJUU1JTg1JUE4JUUzJTgxJUFCJUU3JTkwJTg2JUU4JUE3JUEzJUUzJTgxJTk5JUUzJTgyJThCJUU4JUE5JUIxJnR4dC1hbGlnbj1sZWZ0JTJDdG9wJnR4dC1jb2xvcj0lMjMyMTIxMjEmdHh0LWZvbnQ9SGlyYWdpbm8lMjBTYW5zJTIwVzYmdHh0LXNpemU9NTYmcz1jZWIxOWNmYjc3MGY3OTIxMWZmMTI4YWYyNDRiNjZhZA%26mark-x%3D142%26mark-y%3D57%26blend64%3DaHR0cHM6Ly9xaWl0YS11c2VyLWNvbnRlbnRzLmltZ2l4Lm5ldC9-dGV4dD9peGxpYj1yYi00LjAuMCZoPTc2Jnc9NzcwJnR4dD0lNDBhZ2Vwcm9jcHAmdHh0LWNvbG9yPSUyMzIxMjEyMSZ0eHQtZm9udD1IaXJhZ2lubyUyMFNhbnMlMjBXNiZ0eHQtc2l6ZT0zNiZ0eHQtYWxpZ249bGVmdCUyQ3RvcCZzPTZjZGI2MDA2M2U0YzNiMDY0NDY3NzcwNzJjYzhiZDZj%26blend-x%3D142%26blend-y%3D486%26blend-mode%3Dnormal%26s%3Dd7f7231f0281fa58aafd0c33ecb9e035)