【応用】最短経路の作図 | なかけんの数学ノート
次の図で、直線 $\ell$ 上に点 P をとって、 $\mathrm{ AP+BP }$ を考えます。これが最小になるときの点 P を作図しなさい。 問題によっては、直線 $\ell$ が川であり、点 A を出発して川で水を汲んで点 B へ行くときの移動距離、となっていることもあります。 A から P まで、 B から P までの距離は、それぞれを線で結んだときの長さになります。しかし、 P が動けば、長さの和は変わってしまいます。 A から B まで行くだけなら、線分 AB を通るのが一番の近道ですが、今回はわざわざ直線 $\ell$ 上の点を通らないといけないのでやっかいですね。どのように作図すればいいでしょうか。 A から出発して直線 $\ell$ についた後で、点 B の方向へ折り返してしまうのでやっかいなんですね。もしまっすぐ行けたら簡単なのですが。 これは言われないとなかなか
【基本】文字を使った式の表し方（複数の文字の積） | なかけんの数学ノート
文字を使った式での積の表し方（複数の文字の積） 【基本】文字を使った式の表し方（数字と文字の積）で見たように、式の中に、数字と文字の積があった場合は、 $\times$ の記号を省略して、数字のほうを先に書くのでした。例えば、 $1+x\times 3$ は、 $1+3x$ と書きます。 数字1つと文字1つとの積であればこれでいいのですが、文字が複数種類ある場合は、普通は、アルファベット順にします。例外もあるのですが、今の時点では、「基本的には、アルファベット順にする」と覚えておきましょう。例えば、 $y\times 2\times x$ であれば、 $2xy$ と表します。 文字を使った式での積の表し方（カッコのある式） カッコでくくられている式と数字との積の場合も、文字との積と同じように、掛け算の記号 $\times$ を省略します。例えば、\[ (x-1)\times 2 \]であれ
【発展】分散はなぜ2乗して求めるのか | なかけんの数学ノート
ここでは、分散の定義についてもう一度考えてみます。分散は「"偏差（平均との差）の2乗"の平均値」で定義されますが、2乗しないとどうなるのか、2乗するとどうなるのか、絶対値ならどうなるのか、について考えてみたいと思います。 2乗しないとどうなるのか 【基本】データの分散で見た通り、分散の定義は次の通りです。\[ \frac{1}{n}\left\{ (x_1-\bar{x})^2 +(x_2-\bar{x})^2 +\cdots +(x_n-\bar{x})^2 \right\} \]散らばり具合を示すことを目的とした、「各数値と平均値との距離に着目した指標」ということで、こういう定義になっています。しかし、そもそもなぜ2乗しているのでしょうか。 もし2乗しなければ、定義式の波かっこの中では、次のようなことが起こってしまいます。 \begin{eqnarray} & & (x_1-\bar{
【応用】条件のついた並べ方（隣り合わない場合） | なかけんの数学ノート
先ほどと同じように、条件が付いている3人を〇、条件が付いていない4人を△とした場合、次のような並び方があります。 1. 〇△〇△〇△△ 2. △〇△〇△△〇 3. △〇△△〇△〇 … まだたくさんありますが、〇が隣り合わない場合というのはいろいろありそうです。先ほどと同じように、列を〇と△に分けてから並べるのは難しそうです。1番目が〇の場合、2番目が〇の場合、…と分けていくのは、場合分けが多すぎます。また、例題1の「全体から引く」方法も難しいでしょう。 実は、【標準】条件のついた並べ方（部分的に固定）で使った「条件を最後に考える」という数え方を、この問題で使うことができます。「条件の付いていない人を並べ、その後で条件のついた人を、隣り合わないように並べる」という方法です。 どういうことかというと、まず、条件の付いていない4人を並べます。 △△△△ この並べ方は $4!$ 通りですね。この状
【導入】行列の積と食塩水、あるいは、なぜ行列の積はあんなにめんどくさいのか | なかけんの数学ノート
水を入れ替える問題 【導入】行列とつるかめ算では、中学入試の問題などでよく出題される「つるかめ算」を用いて行列について考えました。他にも中学入試でよく出題されるタイプとして「食塩水の問題」がありますが、ここでは、その「食塩水の問題」を使って、行列の積（どちらも正方形タイプの行列の積）について見ていきましょう。ただ、中学入試の対策をするのがメインではないので、食塩水の代わりにもっと単純な「水を入れ替える問題」を使うことにしましょう。 コップ X, Y に、それぞれ、水が $x$ グラム、 $y$ グラムずつ入っているとします。ここで、2つの操作を考えます。 操作１：コップ X にある液体の半分をコップ Y に移す 操作２：コップ Y にある液体の半分をコップ X に移す 操作１、操作２を順番に行った後、コップ X, Y にはそれぞれどれだけの水が入っていますか。 例えば、X, Y に 120
【導入】行列とつるかめ算 | なかけんの数学ノート
つるかめ算の内容 つるかめ算とは、次のような問題です。中学入試、中学での連立方程式の問題、SPIなどで出題されることがあるので、見たことがある人も多いでしょう。 僕はこうした問題を見るたびに「足の数が分かってて、ツルとカメの数がわからないってどういう状況？」と思うのですが、そういうツッコミは今は置いておきましょう。 解き方はいろいろありますが、ここでは、連立方程式を使って解いてみます。ツルが $x$ 匹、カメが $y$ 匹いたとします（以下、両方とも"匹"で数えることにします）。合計で10匹いるので、\[ x+y=10 \]という式が成り立ちます。また、足の合計数が32本だとわかっています。ツルの足は2本でカメの足は4本だから、\[ 2x+4y=32 \]という式も成り立ちます。この2つが同時に成り立つので、 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l
【応用】加法定理と三角関数の次数下げ | なかけんの数学ノート
$0\leqq x \lt \pi$ のとき、\[ \sin^2 x +4\sin x \cos x -3\cos^2 x \]の最大値と最小値を求めなさい。 $\sin$ と $\cos$ が混じっていてややこしいですね。こういう場合は、できる限りくっつけて、動くものを1つだけにしたほうが考えやすくなります。 まず、真ん中の項を見てみましょう。2倍角の公式に次のようなものがありました（参考：【標準】2倍角の公式）。\[ \sin 2x=2\sin x \cos x \]これを右辺から左辺に変形すると、今考えている式の真ん中の項は $2\sin 2x$ と変形できることがわかります。 残りの2つも、2倍角の公式を使って変形することができます。 $\cos 2x$ は、 $1-2\sin^2 x$ と書けることから\[ \sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2} \]となりま
【発展】ユークリッドの互除法と連分数 | なかけんの数学ノート
ここでは、ユークリッドの互除法と関連のある連分数について紹介します。入試で扱われることは少ないですが、こういう応用例を知っておくのも悪くないでしょう。特に、 $\sqrt{2}$ の連分数展開はインパクトがあるので、結果だけでも見ておくとおもしろいです。 連分数 ユークリッドの互除法を説明する際、【基本】ユークリッドの互除法の使い方では、「 $1649$ と $221$ の最大公約数」を例に用いて、次のような計算をしていました。 \begin{eqnarray} 1649 &=& 221 \times 7 + 102 \\ 221 &=& 102 \times 2 + 17 \\ 102 &=& 17 \times 6 \\ \end{eqnarray}少し形が変わっていますが、ほとんど同じ内容です。 さて、上の式を、右辺の1つ目の数字でそれぞれ割ってみましょう。すると、次のようになります
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