和と極限を交換したい時に用いる定理 - Preferred Networks Research & Development
（読んでいただいた方からの指摘を受けて訂正しました．またtwitterでも感想や指摘を頂きました．ありがとうございます．） はじめに こんにちは，大野（@delta2323_）です．今日はルベーグの収束定理についてお話をしたいと思います． 物理や応用数学の分野では極限を直感的に扱って，ざっくりと計算を進める事があります．しかし，気をつけないと実は正当化できないという計算を無意識のうちにおこなってしまいかねません．一方，そのような罠にはまった事がある人が，式変形の度に直感的な議論が正しいかに気を揉み，計算がなかなか進まないのも問題です． では，数学に近い人が極限の定義に戻って式の妥当性を逐一詳しく検証しているかというとそうではありません．確かに，極限の厳密な定義は\(\epsilon – \delta\)論法を用いて行われ，「わからなくなったら\(\epsilon – \delta\)にもど
フビニの定理，トネリの定理，フビニ-トネリの定理のまとめ
関数$f$によっては 重積分$\dint_{\R^m\times\R^n}f(x,y)\,d(x,y)$ 逐次積分$\dint_{\R^m}\bra{\dint_{\R^n}f(x,y)\,dy}\,dx$ が一致しないことがあります． そこで，これら重積分と逐次積分が一致するための条件があれば嬉しいわけですが，ルベーグ積分においてこの十分条件を述べた定理としてフビニ（Fubini）の定理・トネリ（Tonelli）の定理があります． また，フビニの定理とトネリの定理を組み合わせたフビニ-トネリの定理と呼ばれる定理もあります． また，フビニの定理・トネリの定理・フビニ-トネリの定理を総称して「フビニの定理」と呼ぶことも多く，これらは解析学において非常に重要な定理です． この記事では，フビニの定理・トネリの定理・フビニ-トネリの定理を概説します． これらの定理は$\R^m$と$\R^n$より一
測度論ゼミ～完備化と構成 - カイヤン雑記帳
おはようございますまたはこんにちはまたはこんばんは。カイヤンです。 気温差激しいせいか、未だに咳が治りません。 今日も測度論ゼミの話。 ２０日の木曜日は測度論ゼミ第３回でした。 第１、２回はそれぞれ９月２９日と１０月１３日でした。 第１、２回では可測空間、測度空間を整備しました。正直前回の記事で述べたモチベーションの中に出てくる用語・性質をちゃんと定義したという感じです。 ですがまだまだ積分を扱うには準備が足りません。そのうちの一つが第３回の内容です。この回からようやく測度論らしくなってまいります。 第３回では完備化と測度の構成（の準備）を扱いました。 完備化 完備化とは、測度が0であるような集合のすべての部分集合を可測集合とし、かつその測度を0とするということです。 測度の性質から、測度が0であるような集合の部分集合で、可測なものは測度が0となることがすぐわかります： が測度とするとき
半加法族 - arXiv探訪
ホップの拡張定理が述べていることは、有限加法族上の前測度について-加法族上の測度へと拡張できるかは簡単な条件で調べることが出来るということだった。しかし有限加法族上の前測度でさえ、簡単には与えることはできない。そこで更に簡単な集合族のクラスとその上の前測度より、有限加法族上の前測度を構成すること、および-加法族上の測度へと拡張することを考えたい。 有限加法族については前節で述べたが、ここではその生成について述べておこう。まず有限加法族も-加法族と同様に、任意の交叉で有限加法族となる。 定義 について、を含む上の有限加法族全体の交叉を、あるいは単にで記し、により上で生成された有限加法族と呼ぶ。 特にはを含む最小の有限加法族となる。 半加法族 定義 集合においてが次の3条件を満たすとき、は上の半加法族であるという。 である。 ならである。 なら有限個の互いに素な元を用いてと表せる。 この定義が
ほとんどいたるところ - すもう
この記事は 明日話したくなる数学豆知識アドベントカレンダー の 6日目の記事です。（5日目：素数のスモールギャップについての研究がさらに進んでいたらしい ） 数学者の言う事は何かと訳のわからんものだ．というのもまず単語の意味が分からない．Wikipediaの適当な数学のページを見ても「超関数」だとか「2階線形偏微分方程式」だとか「グロタンディーク宇宙」とかおよそ大学数学に触れなかった人間は生まれて初めて聞くであろう言葉が続々と現れる．「暗記物が苦手だから数学が好き」という人がよくいるが，一方でこんな見るからに難しい単語の意味は憶えていたりする．暗記物が苦手と言うよりかは興味の問題であろう． この手の数学用語の中で，私が一番好きな単語が「ほとんどいたるところ」である．似た系統の専門用語として「ほとんど確実に」とか「ほとんどすべての」がある．つまり数学者は「ほとんど」という語を特別な意味で使っ
「リーマン積分＜ルベーグ積分」という感覚を味わう - ペンギンは空を飛ぶ
ルベーグ積分について調べていると、ルベーグ積分はリーマン積分より優れているという文面をよく見かける。これは恐らく事実なのだが、それを知るには両者を様々な観点から比較してみる必要があるだろう。 そこで、本稿では特に基本的な2つの観点、すなわち、積分可能条件と項別積分可能条件について両者を比較し、ルベーグ積分がいかに優れているかを味わってみようと思う。 積分可能条件 リーマン積分可能条件について学部の解析学の講義で習うのは以下のような事実であろう。すなわち、関数fの上ダルブー和と下ダルブー和の極限が一致するときfは積分可能と言い、その極限がfの積分となるのである[2]。これを一歩推し進めると、以下の定理が成立する[1]。 リーマン積分可能条件 有界関数について次が成立する： fがリーマン積分可能であるための必要十分条件は, fがほとんど至るところで連続となることである。そしてこのときfはルベー
よくわかる測度論とルベーグ積分。 - べっく日記
今日はとても寒く、秋らしい天気だ。一般に秋になると、「〇〇の秋」という言葉を聞くけれども、〇〇に好きな言葉を入れれば秋らしくなるので不思議である。 さて、趣味のTwitterを眺めていると、測度論がわからないというツイートを見た。私は一応測度論のTAをやっているので、今回は測度論をざっくりわかりやすくまとめることにした。測度論は解析系や統計系では必須の道具である。私は解析系の人間なので、今回はルベーグ積分の基本であるFubiniの定理や単調収束定理、ルベーグの収束定理、積分記号下での微分をゴールに解説をすることにした。 以下、この記事のメニューである。 ０．測度論の心 １．測度の定義 １-１．完全加法族 １-２．測度 １-３．測度空間 １-４．測度の性質 ２．ルベーグ積分の定義 ２-１．特性関数 ２-２．階段関数 ２-３．ルベーグ積分の定義 ２-４．リーマン積分とルベーグ積分との関係 ２-
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https://home.hiroshima-u.ac.jp/iwatakch/analysisA/lecturenote/analysisA2005.pdf
ルベーグ積分３ールベーグ積分の登場 - YouTube
対談（ルベーグ積分）
リーマン可積分⇔不連続点が零集合
ときわ台学/ルベーグ積分/収束定理