2\sqrt{2}2 が有理数であると仮定する。 このとき,互いに素な正の整数 p,qp,qp,q を用いて 2=qp\sqrt{2}=\dfrac{q}{p}2=pq とおける。 両辺二乗して分母を払うと,2p2=q22p^2=q^22p2=q2 左辺は 222 の倍数なので q2q^2q2 は 222 の倍数。よって qqq は 222 の倍数。 すると,q2q^2q2 は 444 の倍数になるので,p2p^2p2 が 222 の倍数。よって ppp も 222 の倍数。 これは ppp と qqq が互いに素であることに矛盾。