巡回群 「Gを位数がnの巡回群とする。nの任意の正の約数dに対して、Gは位数dの部分群をちょうど1つだけ持つことを示せ。」 私はこれを次のようにして示しましたが・・・。 xをGの生成元とする。するとx^n=eである。 dはnの約数であるから、∃q∈N s.t. n=dq が成立。 すると、x^n=(x^q)^d=eである。 よって、x^q∈Gから生成される巡回部分群Hを考えると H={x^q,x^(2q),・・・,x^((d-1)q),e}で、Hの位数はdである■ (1)とりあえず位数dの部分群の存在は示せたと思うのですが・・・あっているでしょうか? (2)あと、問題文を見る限り、位数dの部分群の"一意性"も示さねばならないと思うのですが、これがよくわかりません。 位数dの部分群H'を任意に取ってきて、H=H'であることを示せばいいのかな?と思ったのですが、できませんでした。。。 (1)(
一次不定方程式における定理 整数の問題って、本当に苦手です。っていうか、小中高大どこでも教わることがなかったです。(大ならどっかで教わったかな?)いまどきの高校とか予備校だと、ハイレベル講座とか難関校突破補習とかで扱っていそうですが。。。でも、知って得する定理とかがうじゃうじゃしているのも、この分野の気がします。 最近、当HPで扱った問題で、この定理を使うものがありましたので書き上げておきます。 <定理> 整数a, b の最大公約数をc とすれば、 ax+by=c を満たす整数x, y が存在する。 <系1> 整数a, b が互いに素であるとき、 ax+by=1 を満たす整数x, y が存在する。 <系2> 整数a, b が互いに素であるとき、任意の整数kは、整数x,yを用いて k=ax+by の形に書くことができる。 <定理>の証明 ユークリッドの互除法のよ
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