３次スプライン補間法
前節で，任意の関数をある区間上の個のノードで，微分係数と関数の値が一致する多項式について学んだ。しかし，高次の多項式は振れが大きいため扱いにくいという問題がある。そこで，区間を小区間に分けて，それぞれの区間で別々の補間多項式を作るという方法が考えられる。この方法のことを区分的多項式近似(piecewise-polynomial approximation)という。 区分的多項式近似の中で最も簡単なのは，１次式での近似である。つまり，個のデータ点を順に直線で結んでいく方法である。この方法を用いたときに発生する問題は，ノードにおいて微分可能でないことである。つまり，この方法で作られた曲線はノードで滑らかでないということである。 そこで考えられる方法は，それぞれの小区間において，Hermite型の多項式を見つけた後,ノードで滑らかになるようにする方法である。もし２次のHermite型の多項式
簡略化した３次スプライン曲線の生成方法
簡略化した３次スプライン曲線の生成方法 スプライン曲線とは、簡単に言えばn+1個の点を結ぶ滑らかな曲線の一種です。３次スプライン曲線は、各点と点の間を3次関数で表現し、点での接続が滑らかになるようにしたものです。 基本的なスプライン曲線 以下に単純な形のスプライン曲線の生成方法を示します。 に対して が与えられているとします。 に対して、 は 区間で定義される関数とします。 が 点と 点を通り（以下の前提条件の１と２）、 各函数が滑らかに接続する（以下の前提条件の３と４）ように 係数を決定します。 なお、関数を一意に決定するために、 以下の前提条件５を追加します。 このを連結したものが ３次スプライン曲線になります。 前提条件：に対して、 1.、 2.、 3.、 4.、 5.。 上記前提条件を元に係数を計算すると 以下の通りになります。 但し、です。 は以下の連立１次方程式の解になります。
スプライン曲線 - Wikipedia
スプライン曲線（スプラインきょくせん、英語: spline curve）とは、スプラインを使用して表現された曲線のこと。スプラインとは区分多項式（区分的に定義された多項式）の事。数学的な背景や曲線あてはめのようなモデルの推定といった側面もあるが、図学や造形デザインで使われることが多い。 由来[編集] スプライン 由来であるスプラインは、製図などに用いられる一種の自在定規で、しなやかで弾力のある細長い板。平面上の通過すべき点でたわみを支えると、それらを結ぶ滑らかな曲線が得られる。これは弾性エネルギーを最小にする曲線で、数学的には三次スプライン曲線となる。スプラインは雲形定規と同様、整った補間曲線を手作業で得るために使われ、その操作は、対象となる線を、定規に沿う小曲線の集合に分けて、その部分ごとに線を引く。 1次スプライン曲線は、線形補間であり、折れ線グラフである。 高次のスプライン曲線[編集
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3次のスプライン曲線
各節点を3次関数でつないだものは3次のスプライン曲線と呼ばれます。 しかし、単に与えられた2点をつなぐというだけでは3次関数はただ一つは 定まらず、いくつかの制約が加えられます。一般には 節点において1, 2階の導関数が連続である. 端点での2階の導関数が0である。 という制約を加えた自然スプライン曲線が用いられます。 基本原理については教科書などを読んでいただくことにして、 導出過程を簡単に示します。個の節点データ , があったとして、座標に関する小区間とその幅を とします。 ここで 番目の節点における 補間関数の2階導関数の値をとすると、 自然スプラインの定義より、であり、それ以外のは 連立方程式
G0104 曲線のスムージング
●解説 マウスドローなどで描かれた曲線は、必要以上に点数が多い、曲線が細かく振れているなどの弊害が見受けられる。下図参照。ここでは、曲線を構成する点を再構成し、点数を適正化し、同時に曲線に滑らかさを得るような方法を紹介する。 ●原理 単純に点を間引いても良さそうであるが、点密度が偏ってしまう可能性があり、何らかのアルゴリズムが必要となる。ここでは、得られた曲線を有効な距離分解能で再構成し、点を振り直し、改めてスプライン補間すると言うアルゴリズムを採用する。有効な距離分解能は、見た目で（全長、最小の意味のある曲がり具合など考慮）単位となる距離を指定するものとする。結果として、点の進行方向の点密度が一定となる。但し、曲線の曲率に応じた点密度の変化はない。 上図のように、オリジナルの点を距離を計算しながら辿り、ΔLづつ新しい点（新しい点間の直線距離がΔLではない）を決めてゆく。新しい点で、スプラ
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