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確率論と確率に関するItisangoのブックマーク (1)

  • ベルトランのパラドックス - IIJIMASの日記

    確率論の分野のネタ。確率論の奥深さを物語る奇妙な事実をここで紹介する。 単位円(半径の長さがの円)周上にでたらめに弦を引いた時、その弦の長さが円に内接する正三角形の辺(長さ)よりも長くなる確率を求めよ。 考え方 回答 【考え方1】三角形の一つの頂点Aを端とする弦を考えると、その弦がより長くなるのはもう一方の端は弧BCの上の時だけ…弧BC/円周ABCなので1/3 1/3 【考え方2】円内の一点Xを考える。Xを通り、Xと円の中心Oを結ぶ線分OXに直行する弦が1つ定まる。弦がより長くなるのは、点XがO中心半径半分の円の中の時だけ。つまり、半径半分の円板の面積/元の円板の面積で1/4 1/4 【考え方3】y=0の直径上の点(p,0)に対して、直交する直線x=pと単位円板の交わりによって弦が定まる。その弦がより長くなるのはpが区間[-1/2,1/2]にある時なので、1/2 1/2 【考え方4】考え方

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