ベルトランのパラドックス - IIJIMASの日記
確率論の分野のネタ。確率論の奥深さを物語る奇妙な事実をここで紹介する。 単位円（半径の長さがの円）周上にでたらめに弦を引いた時、その弦の長さが円に内接する正三角形の辺（長さ）よりも長くなる確率を求めよ。 考え方 回答 【考え方１】三角形の一つの頂点Aを端とする弦を考えると、その弦がより長くなるのはもう一方の端は弧BCの上の時だけ…弧BC/円周ABCなので1/3 1/3 【考え方２】円内の一点Xを考える。Xを通り、Xと円の中心Oを結ぶ線分OXに直行する弦が1つ定まる。弦がより長くなるのは、点XがO中心半径半分の円の中の時だけ。つまり、半径半分の円板の面積/元の円板の面積で1/4 1/4 【考え方３】y=0の直径上の点(p,0)に対して、直交する直線x=pと単位円板の交わりによって弦が定まる。その弦がより長くなるのはpが区間[-1/2,1/2]にある時なので、1/2 1/2 【考え方４】考え方
ランダムウォークで元の場所に戻れる確率 - IIJIMASの日記
Newton 2009年8月号に載ってて興味を持ちました。 数直線の上を右（+1）、左(-1)に各確率1/2で移動する過程を１次元単純ランダムウォーク（乱歩、酔歩）といいます。同様に平面の格子上を東(+1,0)西(-1,0)南(0,-1)北(0,+1)ランダムに各確率1/4で移動する過程を２次元単純ランダムウォークといいます。同様に空間の格子上を東西南北上下をランダム各確率1/6で移動する過程を３次元単純ランダムウォークといいます。・・・それ以上のｎ次元も想像はできます。 面白いことに１次元と２次元の単純ランダムウォークはいつかは出発点に戻ってくるのだそうです。 ところが、３次元以上の高次元格子上のランダムウォークでは、出発点に戻ってくる確率は1未満なのだそうです。３次元では出発点に戻ってくる確率は約34%(0.3405373296...)しかないのだそうです。４次元で約19%(0.193
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