正規分布の導出
今度は少し気分を変えて、正規分布を導出してみたいと思います。 まず手始めに、「確率密度関数」について考えてみましょう。 離散分布の例として「コイン投げ」をとると、「表」になる確率は1/2、「裏」になる確率は1/2なので、これを関数で表わして f(表)=1/2 、 f(裏)=1/2 とします。 「サイコロ投げ」の例では f(1)=1/6 、f(2)=1/6 、f(3)=1/6 、f(4)=1/6 、f(5)=1/6 、f(6)=1/6 となります。 連続関数の場合は、上で述べた離散分布にならって確率密度関数を考えると、ｆ（ｘ）とはある事象がｘになる確率ということになります。 例えば、任意のある人の身長が170cmである確率なんていうのが考えられますが、ピッタリと170cmになる確率は限りなくゼロに近いんじゃないでしょうか？ ですから、 ｆ（170cm） というのは身長が 170±⊿cm にな
正規分布 導出 - Google 検索
ガウス分布の導出. 偶然誤差の性質から確率論や統計学でよく用いられるガウス分布（正規分布）を導出してみよう。 真の値 X をもつある量の測定を行うことを考える。
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正規分布の確率密度関数の導出 - OKWAVE
大変遅くなりました。No. 2 です。 身体を壊して倒れていたり、忙しかったりなどして、こんな時期になってしまいました。 導出法の一つの概略を示します。 測定値 x_i（i ＝ 1, 2,..., n）の、真の値 X からのズレ e_i ＝ x_i - X の分布を考えます。 その確率密度関数を f(x) とします。 誤差が e と e + de の間にある確率は f(e)de で表現されます。 n 回の観測を行って、誤差が e_i（i ＝1, 2,..., n）となる確率は f(e_1)・f(e_2)・...・f(e_n) (de)^n ...で、f(e_1)・f(e_2)・...・f(e_n) を P とおくと、この P は dP/dX ＝ 0 ...を満たすことが必要です。 さて、ln(P) の微分を考え、f'(x)/f(x) ＝ g(x) とおくと、e_i ＝ x_i - X に注
分散の推定
７ 母分散の推定(n-1で割る理由) 母集団の情報を得るために,母集団から無作為標本をとるしか手が出せません。その時，標本から得た平均 ，分散 は，その情報は母集団分布の平均μ，分散 σ2 (母数と呼びます)を知る大きな手がかりとなります。 しかし，この無作為標本をいくつかとるとき，その標本から得られる平均や分散が，真(母集団分布)の平均や分散と比較し，偏りをもって得られるようであるならば困ります。せっかく，何回も無作為抽出を行なっているにもかかわらず，真の平均や分散より偏って得られるのなら意味がありません。ここで，私たちは，偏っていない(不偏 unbiased) ということを， ヤシの実はヤシの木の周りにある いくつかの標本の平均の平均が母平均になる，すなわち， E[それぞれ抽出した標本の平均]=μ いくつかの標本の分散の平均が母平均になる，すなわち， E[それぞれ抽出した標本の分散]=
A．行列の特異値分解
のように分解できることが知られている．ここには正規直交ベクトルを列ベクトルにもつ行列 は を対角要素にもつ対角行列である． とおけば とも表わすことができる．式（17.1）は行列の （singular value decomposition）， は（singular value）， は左あるいは右 （singular vector）と呼ばれる．式（17.1）より
統計学復習メモ11: なぜ特異値分解で主成分が求まるのか - Weblog on mebius.tokaichiba.jp
かつてＪＲ横浜線 十日市場駅近くのMebius (CPU:Pentium 150MHz)より発信していたウェブログです。 前々項に書いたように、主成分分析は特異値分解を使っても計算できる。なぜだろうか。 それについても答えを得たので、ついでにメモしておく。 ｎ個のサンプルデータを横に並べたものを (m<n)とし、Pを単位主成分を横に並べたもの とし、YをXの主成分とすると、 である。 特異値分解定理により、Xは何らかの正規直交行列U,Vと、m行m列部分が対角行列でそれ以外が0である行列Σによって、 と分解される。それを応用すると、 ...(1) が成り立つ。XXTはm×mの正方行列なので、ΣΣTもm×mの正方行列であり、 ...(2) と置くことができる。（σ1≧σ2≧...≧σmである） 前項に書いたように、Yの共分散行列は であり、従って であり、Cov(Y)はCov(X)の固有値を対
線形変換
のように定義しておこう． しかも，この線形変換によって，図形が，どのような変換を受けるかという点に， 重点を置きつつ，話しを進めることにしよう．(1) から直ちに 次の性質が従う． [基本的性質] (I) どの n 次元ベクトル x に対しても，唯１つの n 次元ベクトル y が対応する． (II) , をスカラーとするとき， が成立する． 基本的性質(I)は，(1)式が，写像(あるいは関数)であることを 述べたもので，その定義域が n 次元ベクトル空間であることを示している． その写像が線形性を持っていることを示しているのが，(II) である．元来， 変換は，すべての x に対して変換先が指定されてなければ，確定 しないのであるが，線形性(II)があるため，著しく簡単になる． [定理１] 線形変換は，定義域であるベクトル空間の基底の変換先 が定まれば，確定する． <証>
固有値と固有ベクトル
が成り立つとき， を の 固有値( eigenvalue) といい， を固有値 に対する固有ベクトル(eigenvector) という。では固有値と固有ベクトルは何なのか調べてみよう。まず，幾何学的に考えてみる。例えば，平面上で直線 を直線 に移す線形変換を考えみる。これは 軸方向での平行移動なので の形をしたベクトルは線形変換の後でも の形をしている。このように線形変換後にそれ自身のスカラー倍となって現れるベクトル，これが固有ベクトルである。またこのときのスカラー が固有値である。それでは固有値と固有ベクトルはどうやって求めるのだろうか。 を書き直すと，
固有値、固有ベクトル、対角化...何のため？
私は文系出身の32歳会社員です。 ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと 独学で最近始めました。 そこで... 本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが... (1)何のために固有値を求めるのでしょうか？ (2)何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか？ (3)何のために行列の対角化を行うのでしょうか？ 回答は歴史的背景、学術的背景、感情...etc、なんでも結構です。 例) ・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。 ・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっきりするから「数列」ではなく「ベクトル」と呼んでみた。 ・意味はない！目的はない！ただ数学として突き詰めているだけだ！ ...などなど あっ、でも急を要している訳ではないので もしご存知の方、もしくは自論をお持ちの方は お時間のある方はご回答いただければ幸いです。 ちなみにテキストは共立出版の『やさしく学べ
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数学の散策路
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