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群 (数学) - Wikipedia
数学における群（ぐん、英: group）とは、ある二項演算とその対象となる集合とを合わせて見たときに結合性を伴い単位元と逆元を備えるものをいう。数学において最も基本的と見なされる代数的構造の一つであり、数学や物理学全般において、さまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。群はそれ自体が研究対象であり、その領域は群論と呼ばれる。 概略[編集] 群の概念は、数学的対象 X から X への自己同型の集まりの満たす性質を代数的に抽象化することによって得られる。この集まりは X の対称性を表現していると考えられ、結合法則・恒等変換の存在・逆変換の存在などがなりたっている。集合論にもとづき X が集合として実現されている場合には、自己同型として X からそれ自身への全単射写像を考えることになるが、空間や対象の持つ構造に応じてさらに付加条件を課すことが多い。例えば、ベクトル空間 X に対してその自
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射 (圏論) - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "射" 圏論 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2009年7月） 数学の多くの分野において、型射あるいは射（しゃ、英: morphism; モルフィズム）は、ある数学的構造を持つ数学的対象から別の数学的対象への「構造を保つ」写像の意味で用いられる（準同型）。この意味での射の概念は現代的な数学のあらゆる場所で繰り返し生じてくる。例えば集合論における射は写像であり、線型代数学における線型写像、群論における群準同型、位相空間論における連続写像、… といったようなものなどがそうである。 圏論における射はこのような概念を広く推し進め、しか
圏論 - Wikipedia
圏論（けんろん、英: category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。サミュエル・アイレンベルグ と ソーンダース・マックレーンとによって代数的位相幾何学の基本的仕事の中で20世紀中ごろに導入された。圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。 数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。 圏の研究は、関連する様々なクラスの数学的構造に共通する性質を見出そうとする試みだといえる。 集合論的な数学
代数的構造 - Wikipedia
二つの演算によって決まる代数的構造 環: 加法に関してアーベル群であり、乗法に関して半群（またはモノイド）であり、分配法則を満たす。 体: 0 でない元が乗法に関して群（またはアーベル群）をなす環 演算と作用によって決まる構造 環上の加群: 環の作用するアーベル群 ベクトル空間: 体上の加群 算法や二項演算の項に記す通り、加群やベクトル空間などにいて環や体が与える外部的な作用も適当な方法で内部的な 1 項算法（単項算法）と捉えなおすことができるので、加群やベクトル空間やほかにも同様に作用域を持つ構造である多元環などが、群や環と同様のもの（多くの演算によって決まる構造）として統一的に論ずることもできる。 さらに複雑なもの 代数（多元環）: 乗法の定義された加群やベクトル空間 結合代数: 乗法が結合法則を満たす代数 可換代数: 乗法が可換な結合代数 束: 二つの演算が定義されている集合で、演算
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環 (数学) - Wikipedia
a × (b + c) = (a × b) + (a × c), および (a + b)× c = a × c + b × c 乗法が可換律を満たすから、整数の全体は可換環である。 厳密な定義[編集] 環とは、集合 R とその上の二つの二項演算、加法 +: R × R → R および乗法 ∗: R × R → R の組 (R,+,∗) で、「環の公理系」と呼ばれる以下の条件を満たすものを言う[3]（環の公理系にはいくつか異なる流儀があるが、それについては後で触れる）。 加法群：(R, +) はアーベル群である 加法に関して閉じている：任意の a, b ∈ R に対して a + b ∈ R が成り立つ[注 2]。 加法の結合性：任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b) + c = a + (b + c) が成り立つ。 加法単位元（零元）の存在：如何なる a ∈ R に対しても
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イデアル (環論) - Wikipedia
環構造と両立する同値関係である合同関係とイデアルとの間には一対一対応が存在する。即ち、環 R のイデアル I が与えられたとき、x ～ y ⇔ x − y ∈ I で定義される関係 ～ は R 上の合同関係であり、逆に R 上の合同関係 ～ が与えられたとき I = {x : x ～ 0} は R 上のイデアルになる。 R を（必ずしも単位的でない）環とする。R の空でない左イデアルの族の交わりはまた左イデアルになる。R の任意の部分集合 X に対し、R の X を含む任意のイデアル全ての交わり I はやはり X を含む左イデアルであって、また明らかにそのようなイデアルの中で最小である。このイデアル I を X によって生成された左イデアルと呼ぶ。左イデアルの代わりに右イデアルもしくは両側イデアルをそれぞれ考えることにより、それぞれ同様の概念が定義される。 R が単位的ならば、R の部分集
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