d次元調和振動子ポテンシャルの固有状態・一次元調和振動子ポテンシャルの場合 一次元調和振動子についての定常状態のSchrödinger方程式は、以下のように書けます。 変数変換 をすると、上のSchrödinger方程式は と変形され、λ＝2E/ħωとおくと、 となり、この方程式は解析的に解くことができて、ξ→±∞で解が有界となるのはλ＝2n+1，n＝0,1,2,…のときで、その解は規格化定数を除くとエルミート多項式Hnを使って以下のように表されます。 エルミート多項式Hnの低次のものは次のように表されます。 そして、エネルギー固有値は次のようになります。 ・等方的二次元調和振動子ポテンシャルの場合 同様に、等方的二次元調和振動子の定常状態のSchrödinger方程式は、以下のように書けます。 ただし、r2=x2+y2です。変数変換 をすると、上のSchrödinger方程式は と変形され、λ＝2E/ħωとおき、として、で割
