70年以上未解決であった「ミルズの定数の無理数性」が解決か！？ - INTEGERS
旧知の仲である数学者 齋藤 耕太 氏（筑波大学、学振PD）が、昨日数学の未解決問題を解決したとするプレプリントをプリプリントサーバーarXivに投稿されました： arxiv.org 論文自体は「現状分かるところまで研究しつくす」という素晴らしい態度で執筆されているので主定理の記述は十行ありますが、その特別な場合をとり出した ミルズの定数は無理数である という定理（これは論文のタイトルにもなっています）が、ある程度長い期間未解決であったと思われる数学上の問題の解決を意味しています。 無理数性の証明はかっこいい 実数という数学的対象は有理数と無理数に分けられます。有理数は などのように という表示を持つ実数であり（ここでは自然数は正の整数を意味するものとします）、有理数ではない実数のことを無理数といいます。 高校数学でも証明込みで学ぶことと思いますが、無理数の典型例としては があげられます。こ
Haskellと余代数(Coalgebra) - 朝日ネット 技術者ブログ
ここではHaskellの中級者向けのトピックを簡単に取り上げたいと思います。 今回は余代数(Coalgebra)についてです。Haskellを書いていると『余（なんとか）』という言葉をみかけることがあります。これは英語の接頭辞 Co- の訳で、ここでは代数(Algebra)の双対(Dual)という意味で余代数と呼ばれています。 さてHaskellやOCamlのデータ型は一般に代数的データ型(Algebraic data type)と呼ばれます。このデータ型にパターンマッチングを加えて、（オブジェクト指向言語などと比較したときの）関数型言語の特徴と紹介されることも多いと思います。実はこのデータ型にはもともと余データ(Codata)と呼ばれるような相方がいたのですが、人類が扱うには早すぎたのか、データ型に比べると余データは長らく影の存在でありました（ちなみに余データは口語上はコデータと呼ぶかも
グラフからコミュニティ構造を抽出する 〜リッチフローによるグラフの時間発展〜
コミュニティ抽出とは簡単に言えばグラフにおけるノードのクラスタリング手法です。具体的なアルゴリズムとしてはGirvan–Newman法をはじめ様々なアルゴリズムが存在しますが、この記事では去年（2019年）提案された新しい手法について解説したいと思います[1]。 [1907.03993] Community Detection on Networks with Ricci Flow 話の元になっているのはこちらの論文で、グラフをリッチフローによって変形し、伸びたエッジを切断していくことでクラスタを求めるというアルゴリズムです。リッチフローという聞き慣れない言葉が出てきましたが、ちゃんと後で説明するので気にせず進めましょう。 まずは実際にグラフのクラスタリングを行う様子をアニメーションで見てみてください。 アルゴリズム自体はそれほど難しくありませんが、背景を含めて理解するためには2つの理論
カタンの最長交易路(Longest Road)を探すために半環を考える - Qiita
この記事はlotzさんの「動的計画法を実現する代数〜トロピカル演算でグラフの最短経路を計算する〜」という記事を読んで、自分の問題に対しても応用できないかと考えた結果をまとめたものです。 先に元の記事を読んでから以下の内容を読んで頂けるとスムーズかと思われます。 最長交易路とは 皆様は『カタン』というゲームをご存知でしょうか？ カタンは複数のプレイヤーが無人島を開拓して、最も繁栄させることができたプレイヤーが勝利するというボードゲームです。 このゲームには「最長交易路」というルールがあり、最も長い交易路を作ったプレイヤーに追加の得点が入ることになっています。 このゲームにおける交易路はグラフ理論の言葉を借りると無向多重グラフとみなすことができます。 そして、最長交易路を探すということは、無向多重グラフの中で最長の小道（trail）を探すことになります。 ここでは、ある頂点からある頂点へ行くル
動的計画法を実現する代数〜トロピカル演算でグラフの最短経路を計算する〜 - Qiita
トロピカル半環と呼ばれる代数構造上のトロピカル行列を利用すると動的計画法を使ってグラフの最短経路の距離を計算するという問題が単純な行列積で解けてしまうらしい。そんな噂12を聞きつけて我々はその謎を解き明かすべく南国（トロピカル）の奥地へと向かった。 トロピカルな世界に行くためにはまずは代数を知る必要がある。要するに群・環・体の話だ。しかしこの記事の目的は代数学入門ではないので詳しい話は他の記事3に譲るとし、さっそく半環という概念を導入する。それは 半環は以下の性質を満たす二つの二項演算、即ち加法（和）"$+$" と乗法（積）"$\cdot$" とを備えた集合$R$を言う $(R, +)$ は単位元 $0$ を持つ可換モノイドを成す: $(a + b) + c = a + (b + c)$ $0 + a = a + 0 = a$ $a + b = b + a$ $(R, \cdot)$ は単
高度合成数〜なんかよく見る数〜 - Qiita
1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, ... https://oeis.org/A002182 これらの数は約数をたくさん持っており割り算がしやすいので我々の日常でもよく使われるようです。 例えば1ダースの12や24時間、60分、360度などなど。 定義 自然数で、それ未満のどの自然数よりも約数の個数が多いものを高度合成数と呼びます。それっぽく書くと 自然数 $N\in{\mathbb N}$が任意の$N$より小さい自然数$N'\in{\mathbb N},\ N' < N$に対して ${\rm d}(N') < {\rm d}(N)$ を満たす時、$N$を高度合成数と呼ぶ。 ただし${\rm d}(n)$は$n$の約数の個数を与え
Haskellで二重数を使って自動微分 - TOKYO OYASUMI CLUB
二重数とは 複素数の兄弟のようなものに、二重数というものがあります。二重数は実数の集合 \(\mathbb{R}\) に新しい元 \(\epsilon~(\epsilon^2 = 0)\) を追加したものです。 二重数を用いると、例えば \[(x + \epsilon) = x + \epsilon\] \[(x + \epsilon)^2 = x^2 + 2x\epsilon\] \[(x + \epsilon)^3 = x^3 + 3x^2\epsilon\] \[\cdots\] \[(x + \epsilon)^n = x^n + nx^{n-1}\epsilon\] というようになり、少なくとも \(x\) の多項式 \(f\) については \[f(x + \epsilon) = x + \epsilon\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\] と
Category Theory for Programmers: The Preface
Category Theory for Programmers: The Preface Posted by Bartosz Milewski under C++, Category Theory, Functional Programming, Haskell, Programming [184] Comments Table of Contents Part One Category: The Essence of Composition Types and Functions Categories Great and Small Kleisli Categories Products and Coproducts Simple Algebraic Data Types Functors Functoriality Function Types Natural Transformati
Category Theory (Oxford Logic Guides)
OXFORD LOGIC GUIDES Series Editors A.J. MACINTYRE D.S. SCOTT Emeritus Editors D.M. Gabbay John Shepherdson OXFORD LOGIC GUIDES For a full list of titles please visit http://www.oup.co.uk/academic/science/maths/series/OLG/ 21. C. McLarty: Elementary categories, elementary toposes 22. R.M. Smullyan: Recursion theory for metamathematics 23. Peter Clote and Jan Kraj´ıcek: Arithmetic, proof theory, an
Algebraic Topology: A guide to literature
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