13, 613, 20200613は合同数 - tsujimotterのノートブック
こんにちは！ 今日の日付は 2020/06/13 ですが、20200613 は素数 ですね！ さらにいうと、20200613は「4で割って1あまる素数」でもあるわけですね。いやーじつにめでたい！ 上記の事実は、大人のための数学教室を経営している「和から株式会社さん」のTwitterアカウントで知りました。 今日は6月13日。 弊社講師の岡本は久しぶりの素数日だ！と雨にも関わらずテンション上がっています。 岡本「20200613は4で割って1余る素数ですよ！三平方の定理の組になりますよ！タイムリー！」 pic.twitter.com/2Xs1tAu8O9— 和から@大人のための数学・統計教室 (@wakara_nagomi) 2020年6月13日 せっかくなので、今日の日付に関して、自分でも何か発見をしたいなと思って考えてみると…… 13 613 20200613 のいずれも、合同数 である
任意の自然数は高々53個の4乗数の和で表せる - tsujimotterのノートブック
昨日紹介した「モジュラー形式の本」にまたまた面白い話が載っていたので紹介したいと思います。 1足す1から現代数論へ: モジュラー形式への誘い 作者:アッシュ,アブナー,グロス,ロバート発売日: 2019/07/27メディア: 単行本 ウェアリングの問題 このブログでこれまでたくさん紹介してきましたが、4で割って1あまる素数は のように「２つの平方数の和」として表すことができます。 一方で、たとえば4で割って3あまる素数はそのような和によって表すことができません。もちろん、平方数をもっと増やせば4で割って3あまる素数も表すことができて、実際4つあれば足りることが知られています。 より一般に 任意の自然数は4つの平方数があれば表すことができる ことが、ラグランジュによって示されています。 定理（ラグランジュの4平方定理）任意の自然数 に対して を満たす（非負の）整数 が存在する。 このラグラン
ヘロンの三角形と連分数 - tsujimotterのノートブック
今日の話題は、数学のお兄さんこと横山明日希さんによるこちらのツイートから。 3辺の長さが整数723、724、725で構成される正三角形に近い三角形の面積は、なんと整数226974になる pic.twitter.com/tOy63OJZ6h— 横山 明日希 (@asunokibou) 2019年8月22日 辺の長さが整数723、724、725で構成される正三角形に近い三角形の面積は、なんと整数226974になる 三角形の3辺 723, 724, 725はすべて整数で、かつ、面積も整数です。 「こんな三角形どうやって見つけるの？」 というのが今日のテーマです。 実は、連分数 を使うと見つけることができます。これが今日一番の面白ポイントです。 tsujimotterはちょうど最近、連分数にはまっていまして、その意味でもグッドなタイミングでこのお話を知ることができました。 よろしければお付き合いく
モジュラー曲線(3)：複素トーラスとしての楕円曲線 - tsujimotterのノートブック
今回の記事は、楕円曲線についての基礎的な事項についてのおさらいです。 これまでのtsujimotterのノートブックでは、色々な記事で楕円曲線について紹介してきました。しかしながら、どれも文字数や手間の関係で駆け足で紹介せざるを得ませんでした。ここで一度腰を据えて丁寧に解説したいと思います。 楕円曲線は、代数曲線としての側面を紹介することが多いですが、今回は複素トーラスとしての側面について中心に紹介します。これは、後でモジュラー曲線に関する記事で使うことを想定しています。 モジュラー曲線関連の情報は、以下のタグの一連の記事でまとめているところです。 tsujimotter.hatenablog.com なお、今回の記事はモジュラー曲線に関するシリーズ記事の一環で書いていますが、今回の記事に関して言えば、これまでの知識なしで読めるものとなっています。 目次： 1. 楕円曲線＝複素トーラス 2
33 = X^3 + Y^3 + Z^3 の整数解 - tsujimotterのノートブック
今回のテーマは 33 という整数についてです。今朝、アフィンスキームについての重い記事を投稿したばかりですが、この記事では軽い感じでいきましょう。 を固定した自然数として、 なる方程式の整数解を考えたいと思います。 今回の内容を紹介する動画ができました！ よろしければこちらもご覧になってください！ www.youtube.com たとえば、 の場合は という自明な解があります。ほかにも という解もあります。これはまさにラマヌジャンの見つけたタクシー数 のケースですね。 の場合は となります。整数解なので、マイナスでもいいわけですね。 のときは と表せます。 このように、さまざまな が３つの三乗数の和や差によって表せます。 上記のケースでは解が比較的簡単に求まりましたが、 がもっと大きな値になることもあります。 の組み合わせが見つかっていないような も存在します。 今回の主題は、 のケース、
FF5のレベル5デスと整数論 - tsujimotterのノートブック
Final Fantasy Ⅴ（以下、FF5）というゲームをご存知でしょうか？ 私が小学生ぐらいの頃に流行したロールプレイングゲームです。当時、私はFFの魅力がわからずプレイしたことすらなかったのですが、大人になってからその面白さに気づき、はまっています。 今回は、FF5にまつわるちょっぴり整数論っぽい問題についてです。 背景 さて、そのFFの5作目のFF5ですが、面白いシステムが導入されました。それが 青魔法 です。青魔法を使う青魔導士は、敵が使ってくる魔法を受けると、「ラーニング」といって、その魔法を習得し、次回以降の戦闘で使用することができるのです。もちろん、敵の扱う魔法すべてをラーニングできるわけではないのですが、バラエティ豊かな魔法を手にいれることができ、青魔法を収集することもゲームの楽しみの一つでした。 参考： FF5 青魔法の効果と習得方法 その中でも、特に面白いなと思ったの
オイラーの素数生成多項式の秘密 - tsujimotterのノートブック
今日はオイラーが発見した， という多項式についてお話したいと思います。 ある特別な に対して，多項式の に整数 を入れていくと，「素数」が次から次へとたくさん出てくるのです。まるで 「魔法の多項式」 です。 これだけでも十分面白いのですが，なんとこれが 「類数」 という「一見まったく関係のなさそうな概念」と結びつくのです。私がこの事実を知ったのは，およそ２年ほど前です。それ以来，その秘密が知りたくてたまらなくなりました。 ２年経って，いろいろな勉強をして，ようやく理解のための土台が出来てきたという実感を得ました。今こそ解説にチャレンジしたいと思います。 とはいえ，なかなかに難しい話ですし，私が理解しているレベルのほぼ最前線です。そのため，わかりやすく嚙み砕く余裕はほとんどありません。整数論の知識はかなり求められますし，普段の記事と比べてもだいぶレベルが高いかもしれません。その点ご了承くださ
「月を入力すると日を返す多項式」と中国剰余定理 - tsujimotterのノートブック
「月を入力すると日を返す多項式」の話が、Twitterのタイムライン上で話題になりました。 togetter.com どんな話題かというと、多項式 を以下のように定義したとき この に を代入すると、 となり、月を入力すると日を返す多項式になっています！すごい！ こんな多項式をいったいどうやって求めるんだろうかと、気になったかたはいるんじゃないかと思います。 これについては 中国剰余定理 が使えるということを、Iwao KIMURA ( @iwaokimura ) さんが、以下のツイートで教えてくださいました。 月を入力すると日を返す多項式．中国の剰余定理のいい例ですね．sagemathだとコマンド一発． pic.twitter.com/F15nosE2ia— Iwao KIMURA (@iwaokimura) 2018年10月21日 中国剰余定理は私の好きな定理の一つですが、このような応
格子 Z[√-1] に対応する楕円曲線 - tsujimotterのノートブック
突然ですが、格子 に対応する楕円曲線の定義方程式を計算したくなってきました *1。 参考記事はこちら： tsujimotter.hatenablog.com 上の記事で書いた通り、格子 に対する 上の楕円曲線 の定義方程式は、一般に と表せます。これをワイエルシュトラスの標準形と呼ぶのでした。 は楕円曲線のパラメータで、アイゼンシュタイン級数のような式で定義されます。このパラメータ を具体的に計算してみましょう。 まず、 から計算します。定義より です。 に対応する を計算すると となります。 一方で については、 より を満たすことがわかります。したがって、 を得ます。よって、 です。 したがって、楕円曲線の定義方程式は と表すことができます。実は、上の太枠内の式 を満たす格子については、すべてこの形で書くことができます。 上の太枠内の式は、次の図のような関係を表していると言えます。 次
![格子 Z[√-1] に対応する楕円曲線 - tsujimotterのノートブック](https://cdn-ak-scissors.b.st-hatena.com/image/square/1971748c2205ec96b6e15e981ca039772e626bfc/height=288;version=1;width=512/https%3A%2F%2Fcdn.image.st-hatena.com%2Fimage%2Fscale%2F32c80c0102a33d243a93e3d9b06556be5462b580%2Fbackend%3Dimagemagick%3Bheight%3D1300%3Bversion%3D1%3Bwidth%3D1300%2Fhttps%253A%252F%252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%252Fimages%252Ffotolife%252Ft%252Ftsujimotter%252F20180522%252F20180522002721.png)
ストークスの定理 - tsujimotterのノートブック
電磁気学やベクトル解析の講義で「ガウスの定理」や「ストークスの定理」「グリーンの定理」という法則を習ったと思います。これらの法則は一見別々のものに見えますが、微分形式を用いるとこれらの法則を統一的に扱えるという素敵なお話を紹介したいと思います。 最近、この話を理解して楽しくなってしまって、自分なりにまとめてみたくなりました。よろしければお付き合いください。 今回の予備知識としては、以下の記事の2章ぐらいまでを読んでおくといいかと思います。 tsujimotter.hatenablog.com また、「ガウスの定理」や「ストークスの定理」等の定理の主張は知っているものとして進めます。 今日最初に考えたいのは、グリーンの定理です。 グリーンの定理 平面内に（単純閉）曲線 で囲まれた（単連結な）領域 があるとき，次の公式が成り立つ： ただし，線積分 は， 上を反時計まわりの方向に積分する． この
「触れるゼータ関数」ついに販売開始しました！ - tsujimotterのノートブック
ニコニコ学会β 第8回シンポジウムにて，tsujimotter が披露し好評を博した「触れるゼータ関数」がついに発売！ 今まで触れることができなかった「ゼータ関数」があなたの手に！ 冒頭からテンションの高い文章となっていますが，ついにあのゼータ関数を，皆様の手にお届けする準備が整いました！ ニコニコ生放送でも放送されたニコニコ学会βのシンポジウムで，tsujimotter はゼータ関数の魅力を凝縮してご紹介しました。 日曜数学の成果として，作品をいくつかご紹介したわけですが，その１つが「触れるゼータ関数」だったのです。 まだ見ていないという方は，まずはニコニコ生放送のアーカイブで辻の発表をご覧ください。 第8回ニコニコ学会βシンポジウム～現実性を超えて～@ニコニコ超会議2015[DAY2] - 2015/04/26 10:00開始 - ニコニコ生放送 発表を見てくださった方の中には，ゼータ
合同ゼータ関数のリーマン予想 - tsujimotterのノートブック
2017年の2月ごろに「ゼータ関数 強化月間」と題して、ゼータ関数に関する記事を書いていたのを覚えている方はいますでしょうか。そのとき投稿できたのは結局2件だけでしたが、実はもう一つ温めていたテーマがありました。それは 合同ゼータ関数 についてです。2月の記事のひとつ「ゼータ関数の行列式表示」は、今回のテーマのために用意された布石だったのですが、一年越しでようやく回収できそうです。 合同ゼータ関数の魅力の一つは リーマン予想が解決している ことです。一般に、ゼータ関数に対しては、リーマン予想を考えることができます *1。リーマン・ゼータ関数におけるリーマン予想は有名な未解決問題ですが、ゼータ関数によってはリーマン予想が解決されているものもあります。合同ゼータ関数が、まさにその代表例です*2。 私が合同ゼータ関数に興味をもったポイントは、もう一つあります。それは、合同ゼータ関数の証明に エタ
空の見えないセカイ - tsujimotterのノートブック
この記事は Math Advent Calendar 2015 の 23日目の記事です。（22日目：実数の実体） 昨日の記事は、さわらさん（@sawara0804）による「実数の実体」というお話でした。私の琴線にヒットしそうなお話で大変興味があるのですが、すみませんまだ読めていません。年末にゆっくり読ませていただきたいと思います。 さて、Math Advent Calendar の予定欄には 「NHKの数学ミステリー白熱教室で話していた内容に関連する話を書きたいです」 と書いておりましたが、予定を変更したいと思います。白熱教室の話を期待された方には申しわけありません。また機会を見つけて書きたいと思っています！ （数学ミステリー白熱教室、超おもしろかったですね！） 今回のタイトルが「空の見えないセカイ」という、ラノベっぽい（煽り気味の）タイトルでびっくりされたかもしれませんが、ちゃんと数学の
グロタンディーク素数 - tsujimotterのノートブック
この記事は 明日話したくなる数学豆知識アドベントカレンダー の 1日目の記事です。 アドベントカレンダーの季節がやって参りました。 今年は「明日話したくなる数学豆知識アドベントカレンダー」というものを立ち上げてみました。よろしければ１ヶ月お付き合いくださいませ。 明日話したくなる数学豆知識 Advent Calendar 2014 - Adventar まだ空きはありますので、記事を書いてみたい方も募集中です♪ このイベントをきっかけに、数学好きの皆様で交流ができたらなと思っています。 第１日目の本日は「グロタンディーク素数」についてです。 グロタンディーク素数の話をする前に、アレクサンドル・グロタンディークという数学者についてお話ししないといけません。 Wikipediaを見ていただくと分かりますがスキンヘッドの怖いおじさんです。 アレクサンドル・グロタンディーク - Wikipedia
循環小数(1): フェルマーの小定理 - tsujimotterのノートブック
循環小数問題 1/12377の小数点以下6193桁目は何か？（問題編） - tsujimotterのノートブック 1/12377の小数点以下6193桁目は何か？（解答編） - tsujimotterのノートブック 解説編 第１回：循環小数(1): フェルマーの小定理 - tsujimotterのノートブック 第２回：循環小数(2): Midyの定理（前編） - tsujimotterのノートブック 第３回：循環小数(3): Midyの定理（後編） - tsujimotterのノートブック 第４回：循環小数(4): 平方剰余の相互法則 - tsujimotterのノートブック 本記事は、循環小数問題の解説編として書いています。 解説編の第１回では 循環小数は (p-1) 桁で循環する という基本的な事実について紹介します。 具体例と用語の確認 たとえば、1/7 を考えてみましょう。 1/7
リーマンのゼータ関数で遊び倒そう (Ruby編) - tsujimotterのノートブック
今日のテーマは「リーマンのゼータ関数」です。 リーマンのゼータ関数（以下，ゼータ関数）は，複素関数と呼ばれるタイプの関数です。複素数を変数にとって，複素数を関数値として返すので複素関数というのです。ゼータ関数は以下の式で定義されます。 ゼータ関数は，実に魅力的な関数です。それは「オイラー積」や，それを応用した「リーマンの素数公式」を通して，数学のもっとも基本的な要素である「素数」と密接に結びついているためです。あとで紹介する「リーマン予想」という，数学史上最も難しいとされる未解決問題とも関連していて，ゼータ関数は tsujimotter にとってお気に入りの関数です。 今日は，このゼータ関数の形を「自分の力で描く」ための方法をご紹介します。いくら，ゼータ関数が魅力的といっても，自分の手で理解できないのであれば面白くありませんからね。また，単にゼータ関数を描く方法を紹介するだけでなく，先ほど
「3の100乗を19で割ったあまりは？」を４通りの方法で計算する - tsujimotterのノートブック
この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2015 の 8日目の記事です。（7日目：京大特色入試, コインの問題を解く | kinebuchitomo） ニコニコ動画の「数学」タグを検索するのが日課の日曜数学者 tsujimotter です。 「数学」で検索すると、本当にいろいろな動画が見つかるのです。ぜひお時間あるときに試してみてください。 日曜数学 Advent Calendar ８日目の本日は、そんなニコニコ動画で見つけた動画から１つ、みなさんにご紹介したいと思います。 今回ご紹介したいのは、初音ミクが歌うボカロ曲です。タイトルは 「 を で割ったあまりは？」 です。そのタイトル通り、まさに数学の問題をテーマとした珍しい曲です。まずは、ぜひリンク先の動画をご覧ください。 tsujimotter は、心地よいメロディーが素敵な曲だと思いました。この記事を書いている最中、バッ
自由研究：ラマヌジャン定数のナゾ(1) - tsujimotterのノートブック
注意 この記事は数学に関しては素人（NOT professional）の tsujimotter が興味を持った数学について、調べて理解を深めていく過程をまとめたものです。「らしい」「とのこと」などの怪しい言葉が入っているように、この記事の内容の正確性は一切保証しません。あくまで「自由研究」として、tsujimotterがキャッキャウフフと遊んでいる様を楽しんでいただければと思います。 写真：本日の主役 インドの魔術師 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン (1887-1920) (Wikipediaより引用) きっかけ 私が「ラマヌジャン定数」に興味を持ったきっかけは、 Wikipediaの「ほとんど整数」の記事を読んだことでした。 ほとんど整数 - Wikipedia これによると、ラマヌジャン定数と呼ばれる、 という数値は、整数に限りなく近い値を取るとのこと。 「ほんとかよ」と思って調べて
正七角形の折り方：完成までの14のステップ - tsujimotterのノートブック
以前に「折り紙で正七角形を折ってみた - tsujimotterのノートブック」という記事を書いていました。 アクセス履歴を見てみると思った以上に好評で、「正七角形 折り方」などのキーワードで多くの方が見に来てくれているようです。 前回の記事には、折り方までは書いていなかったのですが、せっかくなのでまとめてみました。 折り紙は数学的にも興味深い対象です。 どのように面白いかについては、最後の項で熱く語ってみました。 このエントリを読んで興味を持った学生さんは、よろしければ最近話題の「算数・数学の自由研究」の題材にしてみてはいかがでしょう。 ちなみにこの解説は、サークルの飲み会の余興のために作ったものでした。酔っぱらいながらでも、中々楽しんでもらえましたよ。 完成品はコースターにもなります。笑 手順解説のための準備 使うのはもちろん折り紙です。当然ですが１枚で作ることが出来ます。 正七角形の
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