旧知の仲である数学者 齋藤 耕太 氏（筑波大学、学振PD）が、昨日数学の未解決問題を解決したとするプレプリントをプリプリントサーバーarXivに投稿されました： arxiv.org 論文自体は「現状分かるところまで研究しつくす」という素晴らしい態度で執筆されているので主定理の記述は十行ありますが、その特別な場合をとり出した ミルズの定数は無理数である という定理（これは論文のタイトルにもなっています）が、ある程度長い期間未解決であったと思われる数学上の問題の解決を意味しています。 無理数性の証明はかっこいい 実数という数学的対象は有理数と無理数に分けられます。有理数は などのように という表示を持つ実数であり（ここでは自然数は正の整数を意味するものとします）、有理数ではない実数のことを無理数といいます。 高校数学でも証明込みで学ぶことと思いますが、無理数の典型例としては があげられます。こ

僕は経済学研究科に所属する大学院生です。 ただし経済学の中でも特殊な領域を専攻しており、「どんな社会が”良い"社会か？」「”公平な"資源の配分とは何か？」など哲学的な問いを扱っています。 この記事では、初歩的な数学以外は前提知識なしに、社会的選択理論（経済学の一分野。社会についての哲学的な問いに対して数学でアプローチする）のイメージを共有してみたいと思います。具体的にはより細かいテーマとして最近取り組んでいるPopulation Ethicsについて取り上げます。 Population Ethics(人口倫理)のモチベーションを紹介しながら、Ng(1989)によって示された僕が好きな不可能性定理を証明も含めて説明します。 「数学をこんな問題を考えるのに使っているんだ！」「経済学の中にはこういう領域もあるんだ」みたいなことを共有できたら嬉しいです。 長い旅にはなりますが、ぜひ経済学の中でも特

私達は実数を有理数で近似したい。 誤差未満の範囲で実数が有理数で近似されている状況は、不等式を用いて と表すことができます。 さて、そもそも実数は有理数列の極限なので、いくらでも小さい誤差で近似できます。 例えば、円周率は と有理数で近似できます。誤差はとても小さく感じます。 一方で、 が成り立ちます。 とを比較すると、とではの方が小さいので、はよりも良い近似であると考えてよいでしょうか？ 実際は有理数とでは円周率の近似として後者の方が優れている点があります。それは「近似分数の分母の大きさに対して誤差がどれぐらい小さいか」を考えたときにわかってきます。 については が成り立つ（！）のに対し、については ぐらいしか言えません。 つまり、は近似の誤差と「1/分母」の大きさが大体同じぐらいの大きさなのに対し、は近似の誤差が「1/(分母の3乗)」で押さえられており、この観点で円周率近似としてはの方

先日話題になった FF5の記事(1) や FF5の記事(2) の議論の中で として なる数列について考えていました。 要するに、1次多項式 を考えて で を繰り返し合成させるとどうなるか？ という問題を考察していたわけです。 考えてみるとなかなか面白かったので、今日の記事ではこの問題について掘り下げてみようと思います。 フェルマーの小定理っぽい？ まずは、具体的に計算していきましょう。以下すべて有限体 上で考えます。 ４行目あたりで「おっ」って思いますよね。結果だけまとめると これが繰り返されます。4回合成するごとに、 となっていることが観察できます。 つまり、 （恒等写像） が成り立つということです。 この現象はさながら フェルマーの小定理 のようです。フェルマーの小定理とは、 を素数として に対して が成り立つというものでした。状況はそっくりですね。 しかも、今回は 上の多項式を考えて

フォローしてる数学クラスタの議論が面白かったのでまとめてみました。ちなみに僕は内容はほとんど理解してないｗけど見ててなんか楽しいのです。

今日は のような 「素数のべき乗分の１」の形の循環小数 について考えたいと思います。 実際、上記の小数を計算してみると となり、 は 42桁、 は 294桁 と、たいへん長い循環節を持つことがわかります。これは後で見るように周囲の循環小数と比べてもかなり長いものとなっています。 この現象の裏には一体どのようなメカニズムが隠されているのでしょうか。 理屈を紐解いてみると、そこには の循環節が ダイヤル数 になることが関係していることに気づきました。 とても面白い（きっと他では知られていない）定理を証明することができましたので、よろしければご覧になってください！ 注：今回の記事はtsujimotter自身による独自研究をまとめたものです。内容の信ぴょう性についてはご自身でお確かめください。 1. 目次 目次： 1. 目次 2. きっかけ 3. 実験と本日の主定理 4. 循環小数のおさらい 5.

2023.12.25 国際社会科学部･臼井ゼミが「International Business Studies Intercollege Competition2023」で入賞しました

学習院大学の白石先生にお話を伺いました！ 人間の知の限界はどこにあるのでしょう プレスリリースはこちら↓ https://www.univ.gakushuin.ac.jp/about/pr/press/20210824release.html 後編はこちら↓ https://youtu.be/yz2PvOFD3HY ▼学術対談再生リスト https://www.youtube.com/playlist?list=PLDJfzGjtVLHkuvquyqcRDYK4mGQ-sg0Pz

この項目「怠け仕出し屋の数列」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：英語版 "lazy caterer's sequence" 09:07, 12 Jun 2019 (UTC)） 修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2023年12月） 3つの直線で7つの断片へと切り分けられたパンケーキ 怠け仕出し屋の数列[訳語疑問点]（なまけしだしやのすうれつ、英: lazy caterer's sequence）、より堅い言葉でいうと中心多角形数[訳語疑問点]（ちゅうしんたかくけいすう、central polygonal numbers）は、円板を与えられた数の直線で切って作ることのできるピース（断片）の最大数を表す数列である。普通は円

最近，量子コンピュータの話題をニュースや新聞で見かけることが増えてきました． その中で気になってきたのが，組合せ最適化と量子コンピュータ（特に量子アニーリング）に関する怪しい言説．私自身は（古典コンピュータでの）組合せ最適化の研究をやってきて，量子コンピュータを研究しているわけではないのですが，さすがにこれはちょっと・・・と思う言説を何回か見かけてきました． 最近の「量子」に対する過熱ぶりは凄まじいので，こういう怪しい言説が広まるのは困りものです．すでにTwitter上には，“組合せ最適化は今のコンピュータでは解けない”とか“でも量子なら一瞬で解ける”という勘違いをしてしまっている人が多数見られます*1． さすがに危機感を覚えてきたので，この場できちんと指摘しておくことにしました． 今北産業(TL;DR) “古典コンピュータは組合せ最適化を解けない” → 古典コンピュータで組合せ最適化を解

三色関数に幾何学的意味を与えるよ！概要説明今回の記事は微分や三角関数やマクローリン展開、複素関数、線形代数あたりの知識をお持ちの方を対象としております。それらについての解説からはじめてしまうとなかなか本題に入れないため、本記事ではいつもよりやや高度なお話が多めかもしれません。。何卒、ご了承くださいませ＞＜ さて、twitter 上の数学クラスタさんの間で「三色関数」なるものがプチブームとなっているようです。 $$\begin{align} \mathrm{red}~x=&\frac{e^x+e^{\omega x}+e^{\omega^2 x}}3\\ \mathrm{grn}~x=&\frac{e^x+\omega^2 e^{\omega x}+\omega e^{\omega^2 x}}3\\ \mathrm{blu}~x=&\frac{e^x+\omega e^{\omega x}+

みなさん、ヘンゼルの補題 という定理をご存知でしょうか。 ヘンゼルの補題は、整数論についてのとても重要な定理の一つです。 進数 という、現代の整数論において必須とも言える概念とも深く関連します。 でも、ちょっとだけややこしい。今日はこの定理の紹介を試みようと思います。 ヘンゼルの補題とは ざっくり言ってしまうと、ある整数係数の多項式 の における根の存在を保証する定理です。 定理（ヘンゼルの補題） を素数とする．整数係数の多項式 に対して， かつ なる整数 が存在するならば， を満たす整数 が存在し を満たす． 見てほしいポイントは、この定理が 「 が存在するならば、 が存在する」 という形になっているという点です。よりよく理解するために、具体例を考えましょう。 p = 7 とします として、多項式を としましょう。もちろん は整数係数の多項式なので、定理の条件を満たします。また、条件とし

マンハッタン距離の例：どの色のコースを辿っても同じ距離が決まっている マンハッタン距離（マンハッタンきょり、Manhattan distance）またはL1-距離は、幾何学における距離概念の一つ。各座標の差（の絶対値）の総和を2点間の距離とする。 ユークリッド幾何学における通常の距離（ユークリッド距離）に代わり、この距離概念を用いた幾何学はタクシー幾何学 (taxicab geometry) と呼ばれる。19世紀にヘルマン・ミンコフスキーによって考案された。 定義[編集] より形式的には、2点間の距離を直交する座標軸に沿って測定することで一般の 次元空間においてマンハッタン距離 が定義される。 ただし、, とおいた。例えば、平面上において座標 に置かれた点 と、座標 に置かれた点 間のマンハッタン距離は となる。 例[編集] マンハッタン距離は、都市ブロック距離（city block di