Cは複素数体ではないでしょうか? そうだとして、証明の方針について、回答します。 (1)については X^2-4X+5=0の解の1つがX=2+iであることを用いて φ:R[X] → C をφ(f)=f(2+i)と定めて、 ① φは準同型写像 ② φは全射 ③ kerφ=(X^2-4X+5) がすべて成り立つことを示せば、準同型定理により、剰余環R[X]/(X^2-4X+5)と複素数体Cが同型であることを示せます。 (2)については ψ:Z[X] → Z をψ(f)=f(5)と定めて、 ① ψは準同型写像 ② ψは全射 ③ kerψ=(X-5) がすべて成り立つことを示せば、準同型定理により、剰余環Z[X]/(X-5)と整数環Zが同型であることを示せます。 分かりにくいところなどがありました、補足等でご指摘ください。 --------------------------------------
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