正多面体
このオイラーの定理の覚え方として、杉浦光夫さんが講義中ボソッと「この公式は、 『 線 は 帳 面 に引け 』 （辺） ＝ (頂）＋（面）－２ と覚えるといいですよ！」と仰ったのが、今でも耳に残っている。 (注）帳面というのは、もう死語かもしれない。今風に言えば、ノートのこと。でも、ノートでは 上手い語呂合わせを作るのは難しい。我々は、日本語に感謝しなければいけない。 （補足） 平成１９年８月２０日付け オイラーの多面体定理の応用例を一つあげておこう。 サッカーボールは、正５角形と正６角形をそれぞれ何枚かずつ貼り合わせ て作られている。正５角形と正６角形の枚数は、それぞれ何枚だろうか？ 正５角形、正６角形の枚数をそれぞれ、ａ 枚、ｂ 枚とする。 上図はサッカーボールの一部分を展開したものであるが、どの頂点でも正５角 形１枚と正６角形２枚が集まっていることが分かる。 よって、 頂点の個数に
点と直線の距離
点と直線の距離 平面上の図形問題で、「点と直線の距離」の公式は、絶大なる力を発揮する武器として、 受験生は、必ず身につけなければならない必須技法だろう。その割には、以前の学習指 導要領に比べて、その扱いは軽減されているように感じる。 公式は、単純である。 点Ａ（ ｘ0 ， ｙ0 ） から、直線 Ｌ ： ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ に下ろした垂線の長さ ｄ は、 で与えられる。 通常、ベクトルを用いる証明が最短だろう。（ベクトルを太字で表すことにする。） 垂線の足を、Ｈ（ ｘ ， ｙ ） とすると、 ＡＨ と （ ａ ， ｂ ） は平行なので、 ＯＨ＝ＯＡ＋ｔ・（ ａ ， ｂ ） また、点Ｈは、直線 Ｌ 上にあるので、 ＯＨ・（ ａ ， ｂ ）＋ｃ＝０ よって、 （ＯＡ＋ｔ・（ ａ ， ｂ ））・（ ａ ， ｂ ）＋ｃ＝０ より、 ＯＡ・（ ａ ， ｂ ）＋ｔ（ａ2＋ｂ2）＋ｃ＝０ ここで、 ａ2＋
斜交座標系
斜交座標系 斜交座標系（ｏｂｌｉｑｕｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ）は、通常の直交座標系を拡張したもので、 斜めに交差する２直線により、座標を定義しようとするものである。 上図をしばらく眺めていると、直交座標系とほとんど変わらないこと、何となく直交座標系 を空間で斜めから見ているような雰囲気であることが分かるだろう。 直交座標系において、平面上の任意の点 Ｐ（ ｘ ， ｙ ） に対して、基本ベクトルを ｅ1＝（ １ ， ０ ） 、 ｅ2＝（ ０ ， １ ） とおくと、 ＯＰ＝ ｘｅ1 ＋ ｙｅ2 と一意に書くことができる。 ｅ1 、ｅ2 のように垂直でなくても大きさが １ でなくとも、一次独立な２つのベクトル ａ 、 ｂ があれば、上記と同様に、平面上の任意の点 Ｐは、平面上に１点Ｏを固定して、 ＯＰ＝ ｘａ ＋ ｙｂ と一意に書くことができる。 このとき、点 Ｐを表す座標として
四面体の求積
四面体の求積 １辺の長さが ａ の正四面体 ＯＡＢＣ の体積 Ｖ は、よく知られているように、 で与えられる。 また、１次独立な３つのベクトル ＯＡ 、ＯＢ 、ＯＣ により、 Ｖ＝｜（ ＯＡ ，ＯＢ×ＯＣ ）/６ ｜ で与えられることも有名だろう。 （ ， ）は内積であり、×は外積である。 （→ 参考：「垂直を求める」） このページでは、一般の四面体について、いろいろな諸条件から、その体積を求める方 法について、まとめようと思う。 （１） 四面体 ＯＡＢＣ の各頂点の座標が与えられる場合 Ｏ（ ０ ， ０ ， ０ ） 、 Ａ（ ｘ1 ， ｙ1 ， ｚ1 ） 、 Ｂ（ ｘ2 ， ｙ2 ， ｚ2 ）、Ｃ（ ｘ3 ， ｙ3 ， ｚ3 ） を４頂点とする四面体 ＯＡＢＣ の体積 Ｖ は、 で与えられる。 （証明） ＯＡ＝（ ｘ1 ， ｙ1 ， ｚ1 ） 、ＯＢ＝（ ｘ2 ， ｙ2 ， ｚ2 ） 、
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