円周率が3.05より大きいことを証明せよ - ＳＦ航海日誌
モーニングの「ドラゴン桜」に載っていた、東大の数学問題。 円周率が3.05より大きいことを証明せよ。 なんというか、シンプルかつエレガントな問題。エクセレント。 久々に解きたくなってきたよう、ということで、解いてみる。 中心角∠AOB＝45°、半径OA＝OB＝1の扇形OABを考える。 弧AB＝2π×45／360＝π／4 弧AB＞ABだから、π＞4AB……（１） 余弦定理より AB＾2＝OA＾2＋OB＾2−2OA・OB・cos∠AOB＝2−√2 √2＜1.415だから、AB＾2＞2−1.415＝0.585……（２） （１）（２）より π＾2＞（4AB）＾2＞16×0.585＝9.36＞3.05＾2 π、ＡＢ、弧ＡＢは0より大きいので、π＞3.05 本当はスッピンの力で解きたかったんだけど、さすが東大、力及ばず（苦笑）、ちょっとだけＷｅｂでカンニングしました。 （余弦定理なんてスッカリ忘れてた
円周率が3.05より大きいことを証明せよ。 - 世界変動展望
問題 円周率が3.05より大きいことを証明せよ。 [2003年 東京大学理系前期第6問] 問題文が短いので何から手をつけていいかわからないが、意外とこの問題は簡単である。計算が少しめんどくさい。正六角形が内接しているなら、半分の周の長さが3になるので、3.05より大きいことを示すくらいなら正12角形でいいだろうと予測した結果うまくいった。 仮に正12角形でうまくいかなくても、もっと大きい正多角数でやればいつか3.05より大きいことを示せるのはわかるだろう。半角の公式を使えば大きい正多角数の半分の周の長さを出すことができるので、手計算によって3.05より大きいことを示すのは原理的に可能だ。 もっとも、あまりにも大きい正多角形だと計算が時間内に間に合わないので、試験問題はそれを配慮してか「3.05」というそれほどきつくないものを評価対象としている。単に05年度(2005年)の出題なので3と05
円周率は3.05より大きいことを証明せよ。 - A Successful Failure
円周率は3.05より大きいことを証明せよ。 電車のつり広告に乗っていた2003年の東大の入試問題だが、問題は実にシンプルで美しい。ただ、おそらく受験生の大半が行うであろう解法がすぐに浮かんでしまうのが難点だ。おそらく正答率は9割を超えるだろうし、独創的な回答はあまり期待できそうにないので、入試問題としては問題がある。 実際、乗り合わせた同僚に聞いても、一様に円に内接する6角形…は足りないから12角形を考えて…という無難な回答をみんな真っ先に思いついたようだ。もうちょっとエレガントな回答が出てこないものだろうか 半径1/2の円の円周はである。この円に内接する正12角形を考えるとその辺の長さは次で表される。 ルートが鬱陶しいのでを考え、なので、 よって、と証明される。円周が円を内接する正12角形の辺の長さよりも長いことは明らかであるので、 東大受験生なら問題見た瞬間この解法に行き着き、2,3分
フーリエ級数展開
概要 フーリエ級数展開の基本となる概念は19世紀の前半にフランスの数学者 フーリエ（Fourier、1764-1830）が熱伝導問題の解析の過程で考え出したものです。 そして、その基本アイディアは「任意の周期関数は三角関数の和で表される」というものです。 フーリエ級数展開（および、フーリエ変換）について詳細に説明しようとすると、それだけで本が1冊書けるほどになってしまいます。 そのため、ディジタル信号処理などの工学的な応用に必要になる部分に絞って説明していきたいと思います。 基本アイディア フーリエは「任意の周期関数は三角関数の和で表される」という仮定の下で、 周期関数を三角関数を使って級数展開する方法(フーリエ級数展開と呼ばれています)を考案しました。 すなわち、周期Tの関数f(t)は
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