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概要 KaggleのHMSコンペ[4]の1st place solution[3]のアンサンブルモデルの一つにSuperlets[1]というfilterbankが使われていた。このfilterbankの特徴を原著により確認していく。 原著ではEEGに対する視覚的評価などを行なっているが、ここではとりあえず何をやっているかを把握したいだけなので理論的な内容に留める。 なお、タイトルの「超解像度」というのは原著のタイトルにちなんだ。おそらく著者らの意図としては「単一フィルタにおける理論的な制約を超えた解像度の表現が得られる」というのが言いたいのだと思われる。 用語 日本語でどう訳すのが一般的かわからなかったが、本稿では仮に以下の訳を用いる。 周期数(number of cycles): Wavelet変換(Morlet)における窓関数のパラメータc。直感的には「window中に含まれる有効な周
macOS Monterey 12.6.2, Python 3.9.15, matplotlib 3.6.1, numpy 1.23.4, scipy 1.9.3 時系列データの特異スペクトル解析 特異値分解 まず，特異スペクトル解析で用いられる特異値分解について説明します。線形代数の言葉が出てきますので，難しいと思う方は飛ばしてもらっても大丈夫です。 階数 $r$ の $m\times n$ 行列 $\mathsf{A}$ に対して，次のような分解 (特異値分解 (singular value decomposition: SVD)といいます) が存在します： $$ \mathsf{A} = \mathsf{U}\mathsf{\Sigma} \mathsf{V}^\top $$ ここに，$\mathsf{U}$ と $\mathsf{V}$ はそれぞれ，$m$ 次と $n$ 次の直交行
短時間フーリエ変換 (STFT) を用いて時間周波数解析を行う場合，解析したい信号の時間変化に対して窓関数幅を適切に選択する必要がありました。 しかしながら，窓関数幅の選択は試行錯誤が伴い，手間がかかる場合があります。 これを解決する一つの方策がウェーブレット解析です。 この記事ではウェーブレット変換を用いた時間周波数解析，スカログラムの表示方法について紹介します。 なお，本記事は C. Torrence and G. P. Compo (1998) の論文に大きく依拠しています。 ウェーブレット変換とは？フーリエ変換との違いは？ ウェーブレット変換とは、信号や画像データを解析するための数学的手法の1つで、時間と周波数の両方の情報を得ることができます。ウェーブレット関数と呼ばれる短い波形を用いて、データを異なるスケール（解像度）と位置で表現することが特徴です。 一方、フーリエ変換は、信号を
ヒルベルト変換 ヒルベルト変換 まず，包絡線と瞬時周波数の抽出に必要になるヒルベルト変換 (Hilbert transform) について説明します。 ヒルベルト変換とは，ある関数 $x(t)$ に対して $$ \mathcal{H}[x](t) = x(t) *\frac{1}{\pi t}= \mathrm{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\frac{1}{\pi(t-\tau)}\mathrm{d}\tau \tag{1} $$ と言う式で表される変換のことです。 $*$ は畳み込み積分 (convolution) (掛け算ではない）を表していて，関数 $f(t)$ と $g(t)$ に対して $$ f(t)*g(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau $$ と定義
コヒーレンスとフェイズ コヒーレンスとフェイズ 2つの時系列信号データ $x(t)$ と $y(t)$ があるとします。これらをフーリエ変換したものをそれぞれ，$X(f)$ と $Y(f)$ とします。このとき，クロススペクトル (cross-spectrum) を $$ S_{XY}(f) := X(f)Y^*(f) $$ で定義します。$Y^*(f)$ は $Y(f)$ の複素共役を表します。 クロススペクトルは2つの信号をフーリエ変換したものの積として定義されるので，2つの信号の周波数空間での相関の大きさを表すと考えられます。 しかし，ある周波数に対して片方（たとえば，$X(f)$ のみ）が大きいだけでも，クロススペクトル $S_{XY}(f)$ は大きくなってしまいます。したがって，正規化して，このようなことが起こらないようにしたものが，(二乗) コヒーレンス (coherence
キーボードにこだわりを持つ人にとっては打鍵音は重要な要素の一つです。心地良いとずっとタイピングしてしまうほどの中毒性があります。これを求めて世界中の人々が様々な改造を試みており、youtubeの動画で改造方法やタイピング音を参考にすることができます。ただ、マイクなどの録音環境が異なると聴こえ方も全然違うために動画によって大きく印象が変わってしまいます。何とか打鍵音を数値化・可視化して比較することにより、客観的に分析することができないかという思いから、手元にある自作キーボードについて打鍵音の周波数解析を夏休みの自由研究として行ってみました。 目的 周波数解析に用いたツール 自作したキーボードの打鍵音の比較 スイッチに接するパーツの有無による周波数スペクトルの比較 ケースパーツの比較 人為的にスペクトルをいじってみる まとめ 目的 打鍵音の周波数解析の目的は主に以下の2点。 Modの効果を判断
【時間-周波数解析の基礎】ウェーブレットコヒーレンスとフェイズで信号どうしの相関を調べる【Wavelet】 - LabCode
前回は，フーリエ変換を用いて2つの信号間の周波数空間での相関を評価するコヒーレンス，そして，相関のある周波数成分間の位相差を測るフェイズを紹介しました。 今回は，ウェーブレット変換を用いて，同様にウェーブレットコヒーレンスとウェーブレットフェイズを解析します。ウェーブレット変換を使用することによって，STFTが苦手とする過渡的な信号の解析により適した手法が得られます。 連続ウェーブレット変換 (復習) 復習になりますが，連続ウェーブレット変換を離散信号 $(x_i)_{i=0}^N = x_0, x_1, \dots, x_{N-1}$ に適用する場合，マザーウェーブレット $\psi$ を用意して $$ W_n(s) = \sum_{n’=0}^{N-1} x_n\psi^*\left(\frac{(n’-n)\Delta t}{s}\right) $$ とすれば良いことを述べました。
周波数解析 周波数解析には，離散フーリエ変換 (DFT; discrete Fourier transform) がよく用いられます。DFT は入力デジタル信号に含まれる周波数成分を取り出すことができます。 長さ $T$秒，データ長 $N$ のデジタル信号 $x_i\ (i=1, \dots, N)$ に対して，DFTは $$ X_k = \sum_{i=0}^{N-1} x_i \exp\left(-2\pi\sqrt{-1} \frac{ik}{N}\right) $$ と定義されます (元信号の添字として $i$ を使用してしまったので，虚数単位を $\sqrt{-1}$ と表します)。$X_k$ は複素数です。 $k$ は周波数 (振動数) に対応する添字で，周波数 $k/T$ に対応します。 $|X_k|/N$ を振幅スペクトルといい，元信号に含まれる周波数 $k/T$ の振動の
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Superlets: 時間-周波数解析における「超解像度」filterbank
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