Java Generics are Turing Complete, Radu Grigore
Java Generics are Turing Complete Radu Grigore University of Kent, United Kingdom Abstract This paper describes a reduction from the halting problem of Turing machines to subtype checking in Java. It follows that subtype checking in Java is undecidable, which answers a question posed by Kennedy and Pierce in 2007. It also follows that Java’s type checker can recognize any recursive language, which
フーリエ級数展開をベクトルで直観的に理解する - Phys and Tips
はじめに フーリエ級数展開（Fourier series expansion、以下「フーリエ展開」と呼ぶ）というのは、ある関数 $f(x)$ を、以下のように三角関数の重ねあわせで表現する級数展開だ。\[ \begin{align} f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{k = 1} \left( a_k \cos k x + b_k \sin k x \right) \label{eq:fourier} \end{align} \]ここで、 $a_k$ や $b_k$ は $f(x)$ によって決まる定数で、\[ \begin{align} a_k = \frac{1}{\pi} \int ^ \pi _{- \pi} f(x) \cos kx \ \d x \label{eq:a_k} \\ b_k = \frac{1}{\pi} \int ^ \
よくわかる測度論とルベーグ積分。 - べっく日記
今日はとても寒く、秋らしい天気だ。一般に秋になると、「〇〇の秋」という言葉を聞くけれども、〇〇に好きな言葉を入れれば秋らしくなるので不思議である。 さて、趣味のTwitterを眺めていると、測度論がわからないというツイートを見た。私は一応測度論のTAをやっているので、今回は測度論をざっくりわかりやすくまとめることにした。測度論は解析系や統計系では必須の道具である。私は解析系の人間なので、今回はルベーグ積分の基本であるFubiniの定理や単調収束定理、ルベーグの収束定理、積分記号下での微分をゴールに解説をすることにした。 以下、この記事のメニューである。 ０．測度論の心 １．測度の定義 １-１．完全加法族 １-２．測度 １-３．測度空間 １-４．測度の性質 ２．ルベーグ積分の定義 ２-１．特性関数 ２-２．階段関数 ２-３．ルベーグ積分の定義 ２-４．リーマン積分とルベーグ積分との関係 ２-
「ルベーグ積分」の講義ノートPDF。測度論と確率論の入門（演習問題と解答付き） - 主に言語とシステム開発に関して
講義ノートの目次へ 大学の数学で，ルベーグ積分を学習するための講義資料やPDF。 演習問題と解答付き（院試の問題を含む）。 良質なテキストを収集した。高い参考書や問題集を買わなくて済む。 量を定義しにくい複雑な集合を扱う場合， その集合の大きさを積分や確率で「測る」ために，測度が必要。 測度論の入門としてルベーグ積分を学ぶと， 関数解析や確率論，数理ファイナンスなど解析学の応用分野で， 複雑な集合の扱いに困らなくなる。 以下は，ルベーグ積分を独学で学ぶためのノート。 問題を解きながら学習するとよい。 ※微積分の基礎はこちらのノート， 位相空間論の基礎はこちらのノートで復習しよう。 ※続きとして，関数解析のノートはこちら。 ルベーグ積分の講義ノート ページ数が多く，詳しく教えているノート（PDF形式）： 積分論の基礎 ルベーグ積分入門 http://www7b.biglobe.ne.jp/~
選択公理 | 壱大整域
★お知らせ★ このページの内容が紙の本になりました。Amazonで購入できます。 選択公理: 同値な命題とその証明 選択公理と同値な命題一覧 選択公理と同値な命題とその証明 集合 選択公理について PDF版 選択公理の定義、他 集合に関する命題 PDF版 選択公理 ⇔ 全射の右逆写像の存在、他 整列可能定理とZornの補題 PDF版 動画版(AC⇒Zornのみ) 選択公理 ⇔ 整列可能定理 ⇔ Zornの補題 整列可能定理について PDF版 整列可能定理 ⇔ 全順序は整列可能 ⇔ 順序数の冪集合は整列可能、他 Zornの補題・極大原理 PDF版 動画版(Tukeyの補題) Zornの補題 ⇔ Tukeyの補題、他 Constructive Order Theory PDF版 選択公理 ⇔ 上限はconstructive supremum、他 the Axiom of Multiple Ch
Singular
Singular is a computer algebra system for polynomial computations, with special emphasis on commutative and non-commutative algebra, algebraic geometry, and singularity theory. It is free and open-source under the GNU General Public Licence. Singular provides highly efficient core algorithms, a multitude of advanced algorithms in the above fields, an intuitive, C-like programming language, easy wa
30歳から始める数学 [ SHOYAN BLOG ]
この記事はMath Advent Calendar 2015 2日目の記事です。 前回の記事は515hikaruさんのMath Advent Calendar 2015 一日目 - 515 ひかるのブログ 日常編です。 とあることから、30歳にして数学を学び始めました。いまは毎日楽しく数学の書籍を読んだり方程式を解いたりしています。 本記事では、僕と同じようにもう一度数学を学びたいなと思っている人向けに、数学の魅力を再発見する方法を紹介します。 30歳にして数学を学び始めたきっかけきっかけはプログラマのための数学勉強会です。 とあるご縁でこの勉強会で発表することになり、そこから数学を学び直しました。 内容については、以下の記事を参照ください。 プログラマのための数学勉強会@福岡に登壇してきました プログラマのための数学勉強会@福岡#2に登壇してきました この数学勉強会で数学を勉強することに
![30歳から始める数学 [ SHOYAN BLOG ]](https://cdn-ak-scissors.b.st-hatena.com/image/square/74b2dd7a001a2f4d1f9a5106a0eff5d4e9030292/height=288;version=1;width=512/https%3A%2F%2F48n.jp%2Fimages%2Flogo.png)
点をぐるぐる回してどんどん重ねると楽しいな〜と思ってたらまたフィボナッチかよ！！ - アジマティクス
点を用意してxy平面上でぐるぐる回します。 その１段上（つまり高さ方向に１進んだ地点）に、１つめの点が１周する間に２周するような点を用意します。 ３段目には、１つめの点が１周する間に３周するような点を置きます。 段目には周するような点を、そうですね、60個程度重ねてみましょう。 ウオエアなんだこれ！！！ めっちゃきもい！！！ 楽しい！！！！！ 隣の点を線分でつないでみるとこんな感じになります（gifアップロード容量制限により途中まで）。 う〜ん気持ち悪いですねぇ〜 特にこの、 動き始めの部分がめっちゃきもい ほら。ﾆｭﾝってなってきもい それぞれの点は、単にずっと同じ速度で回転しているだけです。ただそれだけなのにこんなに気持ち悪くなるなんて面白さを感じます。 キャンプファイヤーみたいなやつ 今回の制作物は3Dで、めずらしくz軸があるんですよねえ。いままでフーリエ装置や人体模型などいろいろな
数値最適化のインタラクティブ・チュートリアル | POSTD
「数値最適化」は機械学習における中心的手法の1つです。多くの問題では、最適解を直接突き止めることは難しいものですが、ある解がどれほど適しているかを測定する損失関数を設定し、解を見つけるためにその関数のパラメータを最小化することは比較的容易です。 かつてJavaScriptを初めて学ぼうとしていた時 、結果的に数値最適化ルーチンを多数書きました。そのコードを特に使うこともなく置いていたので、それらのアルゴリズムの動作をインタラクティブな形で可視化したら面白いのではないかと考えました。 本記事の良い点は、コードが全てブラウザで実行できることです。つまり、アルゴリズムの動作をより把握するために、各アルゴリズムのハイパーパラメータをインタラクティブにセットしたり、初期位置を変更したり、どの関数が呼び出されるかを変更したりすることができるのです。 (編注：本記事ではスクリーンショットのみ公開しており
「数学者は変人ばかり」って本当？ 天才数学者・千葉逸人先生に聞いてきた
こんにちは。ヨッピーです。本日は東京大学に来ています。 僕みたいな低IQの屁こき豚がこんな所に来てしまったら、一歩入っただけで知恵熱出してぶっ倒れそうな気がしますが、取材のためなので仕方がありません。 さて、「i:Engineer」ではこれまで、京都大学の先生や東工大の学生など、いわゆるアカデミックな方々にも取材をさせていただきました。その取材の際に、 「数学者は変人しかいない」 「人格破綻してる」 「狂人の巣窟」 なんて、「数学者やべぇ」みたいなニュアンスの話を聞くことがしばしばありました。僕の知人で、京都大学を中退後、現在は優秀なエンジニアとしてゴリゴリ最前線で働いている方も「ずっと数学をやっていたかったけど、数学をやるには全部捨てなきゃ無理だなと思って諦めた」みたいなことを言っており、がぜん「数学者ってどんな人なんだろう」と興味が湧いたわけです。 そこで今日は実際に、 数学者にお話を
DataScienceCentral.com - Big Data News and Analysis
Blockchain solutions for intelligent transportation system Manoj Kumar | June 6, 2024 at 3:26 pm The transportation system is the most important system that connects worlds and is also very crucial in the transfers of... The critical role of data cleaning Lukas Racickas | June 6, 2024 at 12:37 pm As a product manager, I have closely worked with data engineering teams and witnessed the fantastic wa
トーラス・ゲームズ
トーラス・ゲームズは、五目並べ、迷路、クロスワード・パズル、ことば探し、ジグソー・パズル、チェス、ビリヤード、虫食いリンゴ探しなどのゲームで遊ぶことを通して、数学でいわれる「多重連結空間」、有限でありながら端のない空間が、どのようなものなのか、子供達が、直感的かつ視覚的に、理解できるようになることを、目標にしています。２Ｄゲームをマスターされた方は、迷路と三目並べとを３次元の多重連結空間で行う、３Ｄヴァージョンに挑戦してください。トーラス・ゲームズは、対象年齢として、１０歳以上の子供を念頭にデザインされていますが、位相幾何、幾何学、宇宙論等に興味のある大人にも、十分楽しめるものに、なっていると自負しています。
無料で入手できる本格的（紙なら高額）な微分幾何の専門書4選 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
「コンピュータ科学や組み合わせ論を“微分幾何”とみなす：CADGの夢」に関連して微分幾何について調べていたとき、商業出版物（紙の書籍）と同等なPDFをみつけました。「無料で入手できる本格的（紙なら高額）な理数系専門書15選」への追加として、4点の書籍を紹介します。 内容： Functional Differential Geometry The Convenient Setting of Global Analysis Synthetic Differential Geometry Synthetic Geometry of Manifolds Functional Differential Geometry Functional Differential Geometry (The MIT Press) 作者: Gerald Jay Sussman,Jack Wisdom,Will Fa
無料で入手できる本格的（紙なら高額）な理数系専門書15選 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
インターネットで資料探しをしていると、出版されている書籍と同じ内容のPDFがゴロンと置いてあってビックリすることがあります。以下に挙げるのは、そのような、“出版物と同等な内容”が無料公開されている理数系専門書のリストです。 紙の本とまったく同じものもありますし、ドラフト原稿が公開されているものもあります。紙の本の出版後もメンテナンスされていて、インターネット版のほうがより新しくより充実していることもあります。 例えば"Monoidal Functors, Species and Hopf Algebras"は、ハードカバー本は735ページで、現時点で24,650円もする大部な書籍です。公開されているPDFは書籍より増量して836ページあり、誰でも無料ダウンロード可能です。 著作権があやしいものは除外し、著者本人または著者の所属組織のWebサイト、あるいはarXiv.orgで公開されているも
テンソル：なぜ難しいのか - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
まだテンソルにこだわってみる。 さまざまなテンソル達 「テンソルとは何か」が難しく分かりにくいのは、定義が多様であり、それらの定義のあいだの関係が明確にしくいせいでしょう。 まず、慣性テンソルとかひずみテンソルのように、物理（力学）や工学で登場する量としてのテンソルがあります。他にも、現象世界のなかに色んなテンソル量があるのだと思います（僕はよく知らんけど）。微分幾何のテンソルも、物理工学的なテンソルに近いものだと感じます。 一方で、線形代数（複線形代数と言うほうが正確）の範囲内で、純粋に代数的にテンソルを定義できます。ただしこの場合、「テンソルとは何か」に正面から答えるわけではなくて、代数的構造としてテンソル空間を定義して、「テンソル空間（の台集合）の元がテンソル」と素っ気なく言うだけですが。 もちろん、物理工学的なテンソル量は、あるテンソル空間でモデル化できます。しかし、抽象的な議論を
テンソルがなかなか理解されない３つの理由 - 数学、ときどき統計、ところによりＩＴ
大学の理学部（数物系）、工学部などの出身者であれば、テンソルという言葉を少なくても１度は耳にしたことがあると思います。重要な概念にも関わらず、どうしてテンソルは理解されないのか、その原因について考えてみたいと思います。 いろいろなテンソル テンソルと最初に出会うのは、全学共通科目（昔でいう教養科目）の力学に登場する慣性モーメントテンソルあたりでしょう。専門学部（理学部の物理学科や工学部）に進むと、電磁気学の電磁場テンソル、連続体力学や構造力学の応力テンソル、一般相対論のアインシュタインテンソル、場の量子論のボソンフォック空間やフェルミオンフォック空間と至る所に登場します。数学では代数学、幾何学、解析学、分野を問わず登場します。統計学でも多次元の確率変数のモーメント*1を定義するのに必要となります。また最近では機械学習の分野でも見かけるようになりました。 このように八面六臂の大活躍をするテン
珍しいSHA1ハッシュを追い求めて - プログラムモグモグ
「SHA1ハッシュってあるだろう？」 放課後、いつものように情報処理室に行くと、高山先輩が嬉しそうな顔でそう言った。 「ええ、SHA1、ありますね」 「SHA1って何桁か覚えているかい？」 「えっと…」 一年下の後輩、岡村が口を開いた。 「50桁くらいはありましたっけ…？」 先輩はパソコンに向かって何かを打ちはじめた。 現在、情報部の部員は三人しかいない。部長の高山先輩と、二年の自分と、後輩の岡村だ。いや、正確に言うと、先輩の学年にはもう少しいたのだが、もうほとんど部室に来ることはなくなってしまった。無理もない、この季節になると先輩たちは受験勉強で忙しくなる。 「例えば、こういうふうに… 適当なSHA1の長さを…」 echo -n | openssl sha1 | awk '{print length}' 部長だけは今も部活に来てこうやって色々なことを教えてくれている。本人曰く、普通に勉強
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プログラマのための数学LT会 #1
fractalifs
Introduction to Category Theory, Algebras and Coalgebra, Jiri Adamek, Stefan Milius