中3で初めて平方根を習うとき,$\sqrt{2}=1.414213\cdots$を求めるのに, $2$ は,$1^2=1$ と $2^2=4$ の間だから,$\sqrt{2}=1.\cdots$ $2$ は,$1.4^2=1.96$ と $1.5^2=2.25$ の間だから,$\sqrt{2}=1.4\cdots$ $2$ は,$1.41^2=1.9881$ と $1.42^2=2.0164$ の間だから,$\sqrt{2}=1.41\cdots$ という方法を習います。とても分かりやすく,最初はこれでいいと思いますが,あまり実用的ではありませんね。1けた掘り下げる度に,見当をつけては2乗して確かめる計算を繰り返すのが,ものすごく面倒です。手計算でやるならせいぜい $1.41$ まで。次の $1.414$ なんて電卓がないとやる気が起こりません。本当に $\sqrt{2}$ の値を深く求め