リー群は群論の一部 これから「リー群」または「リー代数」と呼ばれる分野について説明したいと思う。 リー群は「群論」と呼ばれる数学の一部分ではあるが、独立した一分野のような広がりを持っている。 群論の教科書を開いてみても「リー群」の話は紹介程度にしか載っていないことが多い。 群論の初歩については分かりやすい本も多く出ているので、私が説明する必要を感じない。 群論を学ぶには多くの具体例を知っておくのがいいと思う。 私はできるだけさっぱりとまとめて説明したい質（たち）なので、 多くの具体例をいちいち紹介するような説明が苦手なのである。 しかし「リー群」というのが何なのかを説明するためには、 「群論」というのがそもそも何なのかを少しくらいは説明しておく必要がある。 読者はこの先を読み進む前に群論の教科書を何冊か、 それぞれの教科書を分かるところまで読んでおいてもいいが、 予備知識がほとんどなかった

目標と方針 第１部「基礎知識」 素粒子論とは何か 放射線の発見 電子の発見 放射線の正体 原子核 核反応いろいろ 半減期 電子ボルト ラザフォード散乱 アルファ崩壊 ベータ崩壊 重水素 アイソスピン 反粒子 どんどん見つかる新粒子 第２部「場の理論の基礎」 場の理論 やっぱり初めはラグランジアン 電磁場のラグランジアン（試作編） 対称性を考慮する 電磁場のハミルトニアン クライン・ゴルドン場の準備 ディラック場の準備 次にやるべきこと 場を量子化する 正準量子化 電磁場の量子化 ディラック場の量子化 スピンと統計 質量を持つ電磁場？ 正規積 第３部「摂動論の応用例」 クーロンポテンシャルの導出 湯川ポテンシャルの導出 第４部「経路積分の方法」 （タイトル未定）

●「隠れた変数」理論と異端者たち 基本原理として確率解釈を設定したことに対する不満は、量子力学の成立当初から、かなり多くの人たちがもっていた。古典物理学の基礎原理はすべて確定した決定論的なものであり、確率概念または確率論的手法は、私たちが力学系の情報を十分にもっていないために導入された現象論的なものだった。量子力学に不満をもつ人の多くは、量子力学をこのような古典的状況に戻そうと試みたのである。 その試行の手本はブラウン運動にあった。溶液中に投入された花粉などの小粒子は、周囲を動きまわっている多数の溶液分子との衝突によって、不規則な運動を繰り返す。これをブラウン運動という。私たちは極めて多数の溶液分子の行動の詳細を知らないから、確率論的手法を使ってブラウン運動を解析している。ブラウン運動粒子が行う行動は確率過程と呼ばれており、現代物理学および現代数学の重要なテーマのひとつだ。アインシュタイ

ここまでが基礎だ これから正準変換の説明を始めることにしよう。 本当は第 2 部の「解析力学の基礎」の中の仕上げとして この話を入れるつもりだったのだが、 これを理解するための自然な流れとして先に変分原理を 知っておくのが良いと思い、ここまで先延ばしになってしまった。 よって私の見方で行けば、ここまでが解析力学の「基礎」である。 まぁ、このサイト全体が基礎レベルなのでようやく「基礎の基礎」ってとこだ。 しかし偉そうなことは言うまい。 私が学生の頃にはここまで理解できていなかった。 しかも、そこらの難しい書き方をしている教科書には未だに手が出せないでいる。 ああ、なんとレベルの低い情けない話だろう。 もっともっと上があるのだ。 まぁ、そんな事が言えるくらいのところまで来れたことは素直に喜ぶべきだろうか。 正準変換とは何か？ ラグランジュ方程式は座標変換に対して不変なのであった。 そしてハミル

重力の理由 巨大な天体の周りでは光でさえその進路を曲げられる。 巨大な質量によって、その周りの時空が曲げられて、 光はその曲がった時空の中をまっすぐに進むからである。 しかしそれを傍から見れば「光が重力に引かれた」と見えるであろう。 一般相対論によれば、光が重力に引かれるのも 物質が重力に引かれるのも全く同じ理由である。 光も物質も「曲がった時空をまっすぐに進んでいる」だけである。 この時空の曲がりを作り出しているのは何も巨大な物体だけに限らない。 そこにある、エネルギーや運動量を持つ全ての物が、 空間の曲がりを作り出しているのである。 物体 A と物体 B が互いに重力によって引かれる時、 A が作った重力場に B が引かれているのではなく、 A と B が作った時空の歪みの中を A と B がともにまっすぐ進んだ結果として A と B が互いに引き合っているように見えるのである。 相対

偶然は必然だ 前回は慣性質量と重力質量が物理的に全く違う概念であるにも関わらず、 両者に違いが見出せないことの不思議さを説明した。 実はこのことがアインシュタインが一般相対性理論を導くきっかけになったのである。 二つの全く違う概念として定義されたものが偶然にも全く同じ値を持つとすれば、 それは偶然ではなく必然であろう、とアインシュタインは考えた。 つまりそうなるような何らかの仕組みが隠されているに違いないというわけだ。 アインシュタインの解決法 上向きに加速するエレベータに秤を載せて物体の重さを量ると 秤の目盛りは普段より大きな値を示す。 しかしこの方法では重力質量と慣性質量の違いは全く見つけられないのであった。 このことは次のことを意味している。 密閉されたエレベータに乗っている人にとっては、 エレベータが加速を始めたのか、なぜか突然に地球の重力が増えたのかは、 物理的な観測では全く区別

第１部「ミクロの世界の謎」 光は波なのに粒々だった！？ なぜ量子力学が必要か ド・ブロイ波 シュレーディンガー方程式 波動関数の規格化 期待値 不確定性原理 ３次元の波動 粒子性の正体 確率流密度 時間に依存しない方程式 調和振動子 原子の構造 シュレーディンガーの猫 ウィグナーの友人 第２部「行列形式をマスターしよう」 完全規格直交系 ブラ・ケット記法 ユニタリ変換 座標表示 運動量表示 演算子は行列だ ここまでのまとめ 摂動論 摂動論�U（縮退がある場合） 遷移確率 第３部「角運動量とスピン」 角運動量の演算子 量子数の意味 角運動量の行列表現 スピンとは何か スピンの振る舞い スピノル（イメージ重視） スピノル�U（形式重視） ベルの不等式 合成則 第４部「相対論的量子力学」 クライン・ゴルドン方程式 ディラック方

[Japanese (EUC) / English] エヴェレットの多世界解釈 最後の量子力学 波束の収縮（ポエム） 確率的な振舞の起源（エヴェレット解釈入門） http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9704039 (T.Sakaguchi) 文科系のための量子力学的世界像（エヴェレット解釈からの帰結） 量子力学における解釈（定式化） 量子力学を正しく理解しよう 非局所性の起源（ＥＰＲとエヴェレット解釈） http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9610045 (T.Sakaguchi) シュレーディンガーの猫 http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9506042 (T.Sakaguchi) 似て非なるもの エヴェレット解釈 vs. コペンハーゲン解釈 百年後の物理学者へ 注意：エヴェレットの多世界解釈（エヴェレッ

波動関数は『場』ではありません トレース操作と波束の収縮との関係 純粋状態と混合状態 ＥＰＲ現象 推薦図書 波動関数は『場』ではありません 波動関数というのを、絶対値の二乗が粒子の存在確率をあたえる複素数値関数の 『場』というように解釈している人（例えば、波動関数とマクロな検出器との間 の、実質的に予測不可能な複雑な相互作用によって、波束の収縮が起こると思っ ている人）がおられるようですが、これは概念上の間違いです。 『場』というのは、我々の住んでいる空間に存在する物理量で、量子論的に扱う と演算子になります。一方、波動関数というのは、ヒルベルト空間のベクトル（ あるいは、それを粒子の位置の固有状態で表示したもの）であって、古典的な対 応物はありません。演算子としての物理量が働きかける被演算子が波動関数です。 （ド・ブロイ場と混同しないように！） 例えば、K 次元のベクトル v は、基底ベ

［アインシュタイン著『特殊および一般相対性理論について』より］ まえがき （特殊相対性理論について） 第１章　幾何学の諸定理の物理的内容 第２章　座標系 第３章　古典力学における時間と空間 第４章　ガリレイ座標系 第５章　（狭い意味での）相対性原理 第６章　古典力学にもとづく速度の加法定理　 第７章　光の伝播（でんぱ）法則と相対性原理との見かけ上の不一致 第８章　物理学における時間の概念について 第９章　同時性の相対性 第10章　空間的距離の概念の相対性について 第11章　ローレンツ変換 ローレンツ変換の簡単な導き方（付記より） 第12章　運動している棒と時計の挙動 第13章　速度の加法定理---フィゾーの実験 第14章　相対性理論の発見法的価値 第15章　相対性理論の一般的効果（E=mc2について） 第16章　特殊相対性理論と経験 第17章　ミンコフスキーの四次元空間 ミンコフスキーの四

こうして何だかすごくシンプルな美しい式が出来上がった。 この式を「クライン・ゴルドン方程式」と呼ぶ。 ローレンツ変換に対して不変であるのが一目瞭然の形式になっている。 この方程式を発表した論文著者の一人であるオスカー・クラインは、 あの「クラインの壺」で有名な数学者フェリックス・クラインとは別人であるので 混同してはいけない。 オスカーの方が半世紀ほど後に生まれている。 スウェーデン出身でドイツで活躍した。 相対性理論を５次元化して電磁気力も幾何学として表せるようにした 「カルツァ・クライン理論」やエックス線のコンプトン散乱についての 「クライン・仁科の公式」（日本人なら当然知っているべきだと教わったが、 専門家でもなければ目にすることは滅多にないだろう）でも有名である。 もう一人の著者であるヴァルター・ゴルドンはドイツ人なので、 日本では「ゴードン」ではなく「ゴルドン」と呼ぶのが普通であ

2008年9月16日更新 来訪者累計(2000年4月6日から) エマン、内部電源に切り替わりました！

目標と方針 第１部「特殊相対論」 相対性理論はなぜ生れたか エーテル理論の失敗 アインシュタインの指針 同時であるとはどういうことか ローレンツ変換の求め方 遊ぶのは後で 時空回転と不変量 固有時の意味 ４元速度 E = mc² の求め方 増大する質量 なぜ光速を越えられないのか 第２部「相対性原理の実践」 運動方程式の変更 反変ベクトル・共変ベクトル テンソル解析 計量とは何か ４次元の演算子 相対論的なマクスウェル方程式 ゲージ変換も簡単に ローレンツ変換の別の求め方 電磁場のテンソル表現 エネルギー運動量テンソル 第３部「一般相対論のきっかけ」 結論から始めよう 代表的な二つの公式 測地線の方程式の展開 重力場の方程式の展開 質量は錯覚だ 質量は２種類ある アインシュタインの解決法 第４部「リーマン幾何学」 共変微分 平行

目標と方針 第１部「力学の補足」 座標変換 見かけの力 コリオリの力 全微分 偏微分の座標変換 第２部「解析力学の基礎」 解析力学とは何か 運動方程式の変形 ラグランジュ方程式の利点 抽象化への準備 ルジャンドル変換 ハミルトニアン ポアッソン括弧式 括弧式の計算例 第３部「変分原理」 物理法則の形式 ベルヌーイの問題提起 最小作用の原理 つじつま合わせ ハミルトン形式にも使える 正準変換 正準変換で何ができるか（工事中） ネーターの定理 第４部「量子力学への入り口」 ハミルトン・ヤコビの方程式 ハミルトン・ヤコビの方程式２ 周期運動への応用 正準変換の実例集 前期量子論 幾何光学との類似 第５部「無限自由度の系」 波動とは何か ひもが波打つ理由 連続体の解析力学 汎関数微分（修正検討中） ラグランジアン密度を使う（修正検討中

回転をベクトルで表す 回転を物理の問題として扱えるようにうまく表すにはどうしたらよいだろうか？ 回転している物体を見るとき、ある部分はこっちへ、ある部分はあっちへ運動していて、 一つの方向で表すことが難しく感じる。 そこで回転軸を使って表現することにしたのである。 軸を決めれば回転の向きが固定されることになる。 それでも回転方向は軸の周りに右回りと左回りの二つあるのでどちらかに決めなければならない。 そこで右ねじを回転させた時にネジが進む方向に倣ってベクトルの方向を決めるのである。 そして回転の勢いをベクトルの長さを使って表すことにした。 こうすれば回転の様子を一つのベクトルだけで表現できることになる。 これが「角運動量ベクトル」と呼ばれているものの意味である。 便利な表現方法としてこの方法を採用しただけであって、 別にそのベクトルの方向に何か特別な力がかかるわけではないことに注意し

由来 せっかく正準変換というものを手に入れたのだから、 これを利用して、複雑な問題を一定の手続きで解く手法が 作れないかを考えてみたい。 少し考えれば分かることだが、 正準変換によって作られた新しいハミルトニアン が 0 となるような 変換をしてやれば、変換後の新しい変数 、 は、 を満たすのだったから、 も も定数だと言えることになる。 いや、実は は 0 でなくとも、 や を含まないような・・・つまり のみの関数であれば 同じことが言えるのだが、今の場合、話はなるべく簡単になった方がいいので、 となるような正準変換を探してやることにしよう。 そのような正準変換を実現するような母関数 を探すための 良い方法、機械的な一定の手続きなんてものはあるだろうか。 ハミルトニアンの変換 は、 という関係を満たす を見つけてやれば良さそうだ。 ところが というのは旧変数 で表された関数であり、 一方