まずは次のような関数を考えてみましょう. \[ F(z)=z\quad (\abs z<1) \] 定義域に注意して下さい.この関数は $ \abs z<1 $ でしか定義されていません.この関数を実数全体に拡張したい場合どうすればよいでしょうか? この場合は単に定義域を $ \abs z<1 $ から $ z\in\rea $ に書き換えればいいだけで,何も難しいことはないように感じるかもしれません.そうして実数全体に拡張された $ \tilde F(z) $ は \[ \tilde F(z)=z\quad (z\in\rea) \] と書くことができます.この $ \tilde F(z) $ が,一部でしか定義されていなかった $ F(z) $ という関数の「本体」ということになります. 以上の話は,単に定義域を書き換えるというだけの話であり,関数の拡張に関する議論の重要性をあまり感じ