弱微分、ソボレフ空間W^{k,p},H^kとは：簡単な例 | 趣味の大学数学
弱微分とは弱微分は、従来の意味では微分可能でない関数に対しても定義できる、一般化された微分の考え方です。 その定義には、部分積分が満たす性質を用います。 実数\(\mathbb{R}\)の開区間\(\Omega =(a,b)\)において定義された、なめらかな（\(C^1\)級の）関数\(f,g\)について \[\int_a^b f^{\prime}(x)g(x)dx =[f(x)g(x)]_{x=a}^{x=b}- \int_a^b f(x)g^{\prime}(x)dx\] という等式が成り立ちます（部分積分）。 ここでもし\(g\)がテスト関数\(\phi\)ならば、\(\Omega\)の境界、端点における\(\phi(x)\)の値は0となるので、 \[\int_a^b f^{\prime}(x)\phi(x)dx =- \int_a^b f(x)\phi ^{\prime}(x)dx
テスト関数C_c^∞、関数の台とは：簡単な例 | 趣味の大学数学
テスト関数、関数の台とは偏微分方程式の分野においては、連続でなく一般的な意味では微分できないような関数に対しても定義できる、一般化された微分：弱微分というものを考えます。弱微分の議論では、まずテスト関数という相方の理解が必要になるので、それを説明しましょう。 テスト関数とは、おおざっぱに言えば、有限な部分だけで値を持ち、それ以外の部分で0となっているような、なめらかな関数です。「有限な部分」という言葉は、関数の台（support サポート）によって定義されます。 \(\Omega \)を\(\subset \mathbb{R}^N\)の開集合とし、関数\(\phi : \Omega \to \mathbb{R}\)について考えましょう。 関数\(\phi\)の台とは、 \[\mathrm{supp }\, \phi:= \overline {\{x\in \Omega \mid \phi(
Using Cholesky decomposition to compute covariance matrix determinant
I am reading through this paper to try and code the model myself. The specifics of the paper don't matter, however in the authors matlab code I noticed they use a Cholesky decomposition instead of computing the determinant of a covariance matrix directly. Specifically, the author has $$\log\det(\Sigma) = 2 \sum_i \log [ diag(L)_i ]$$ where $L$ is the lower triangular matrix produced by a Cholesky
数学入門公開講座 バックナンバー（講義ノート）｜京都大学数理解析研究所
ヒッチン方程式とその周辺 教授・望月 拓郎 ヒッチン方程式はリーマン面上で定義される非線形な微分方程式です。もともとは物理学で重要なヤン - ミルズ方程式を簡単にしたものとして導入されたのですが、むしろ数学的に興味深い方程式であり、微分幾 何・代数幾何・トポロジーなど様々な分野を結びつける役割を果たし、その影響は代数解析や数論といった かなり離れた分野にまで及んでいます。この講座では、ヒッチン方程式に関連する数学的対象について説明 し、ヒッチン方程式に触発されて発展した研究の一端を紹介する予定です。また、ヒッチン方程式を例とし て、非線形微分方程式の解析の難しさと面白さなどについても触れたいと考えています。 二重指数関数型数値積分公式の理論と発展 助教・大浦 拓哉 二重指数関数型数値積分公式（DE 公式）は高橋秀俊・森正武により1974年に提案された定積分の値を数 値的に求める手法です。現
行列の微分の導出 - Qiita
となるので, $AB$の逆行列は$B^{-1}A^{-1}$ となる。つまり$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$が得られる。 トレースの微分 トレースは正方行列の対角要素の和を計算する作用素である。様々な微分公式があるが１つだけ紹介する。 $tr(AB)$をAで偏微分することを考える。ここで$A\in\mathbb{R}^{n\times p}$,$B\in\mathbb{R}^{p\times n}$、$A=(a_{ij})$、$B=(b_{ji})$として
多項ロジットの理論と実装
問題設定 訓練データ(xn, yn), xn ∈ R D, yn ∈ {1,2,...C}, n=1,2,...,Nを使って、マルチクラス識別問題を解くモデルを考えます。 多項ロジットのモデル 多項ロジットでは以下のモデルを使います。 分子は訓練データxの特徴量の線形結合をロジスティック関数に入れたものです。 分子は非負の値を取ります。 上の式はxがクラスyに属する確率を表します。 よって、xがクラス1に属する確率、xがクラス2に属する確率、...をすべて足すと1.0になっていて欲しいです。この条件を満たすように分母の値で割って正規化を行います。 パラメータの学習 多項ロジットのパラメータは、
【画像45枚あり】フーリエ変換を宇宙一わかりやすく解説してみる｜迫佑樹オフィシャルブログ
こんにちは，学生エンジニアの迫佑樹(@yuki_99_s)です． 工学系の大学生なら絶対に触れるはずのフーリエ変換ですが，「イマイチなにをしているのかよくわからずに終わってしまった」という方も多いのではないでしょうか？ 難しいのに加えて，教科書もちょっと不親切で，いきなり論理が飛躍したりするんですよね(僕の理解力の問題かもしれませんが) 僕がフーリエ変換について学んだ時に，以下のような疑問を抱きました． 出来る限り難しい式変形は使わずにこれらの疑問を解決できるようにフーリエ変換についてまとめてみました!! 多少厳密性を欠いても，とりあえず理解するという目的の記事なので，これを読んだあとに教科書と付き合わせてみることをおすすめします． それでは，いってみましょう!! 今回の記事は結構本気で書きました． フーリエ変換の公式 今回のゴールを確認するべく，まずはフーリエ変換及びフーリエ逆変換の公式
Jupyter Notebook で数式を美しく書く - Qiita
キレイに書かれた数式って良いよね！ Jupyter Notebook の Markdownセルには数式を美しく書く機能があります。 数式は生テキストとして書くと見直した際に意味不明で困りものです。教科書通りに書ければ読みやすいのに！。Jupyter Notebookでは出来ます。ここでは次の方針とします。 あくまでJupyterで書く話 (MathJax? TEX? 知らない子ですね) 数式のセオリーを知る (大文字小文字とかありますよね) ある式を書くための一つの記法 (ベクトルって色々な書き方ありますよね) 裏技とか無し (強者は本家リファレンスを読もう) 数式の書き方 数式の区間を作る際にはmarkdownセル中に \$\$ ... \$\$ と書きます。
Companion webpage to the book "Mathematics for Machine Learning"
Companion webpage to the book "Mathematics for Machine Learning". Copyright 2020 by Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, and Cheng Soon Ong. Published by Cambridge University Press. View the Project on GitHub View On GitHub Please link to this site using https://mml-book.com. Twitter: @mpd37, @AnalogAldo, @ChengSoonOng. We wrote a book on Mathematics for Machine Learning that motivates people to
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A Practical Implementation of Gaussian Process Regression
Relationship between Cholesky decomposition and matrix inversion?
【Python】逆行列との行列積 $X^{-1}Y$ の計算 - Qiita
The Matrix Cookbook